陕西省2023年中考数学试卷(A卷）

试卷更新日期：2023-06-29 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算： $3 - 5 =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $8$ D、 $- 8$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图， $l / / A B$ ， $∠ A = 2 ∠ B .$ 若 $∠ 1 = 108 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $46 °$ C、 $72 °$ D、 $82 °$

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4. 计算： $6 x y^{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{3} y^{3}) =$ （）

A、 $3 x^{4} y^{5}$ B、 $- 3 x^{4} y^{5}$ C、 $3 x^{3} y^{6}$ D、 $- 3 x^{3} y^{6}$

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5. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = a x$ 和 $y = x + a (a$ 为常数， $a < 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，点 $F$ 在 $D B$ 上， $D F = 2 B F .$ 连接 $E F$ 并延长，与 $C B$ 的延长线相交于点 $M .$ 若 $B C = 6$ ，则线段 $C M$ 的长为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $7$ C、 $\frac{15}{2}$ D、 $8$

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7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一 $.$ 图 $②$ 是从正面看到的一个“老碗” $($ 图 $①)$ 的形状示意图． $\overset{⌢}{A B}$ 是 $⊙ O$ 的一部分， $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $O D$ ，与弦 $A B$ 交于点 $C$ ，连接 $O A$ ， $O B .$ 已知 $A B = 24 c m$ ，碗深 $C D = 8 c m$ ，则 $⊙ O$ 的半径 $O A$ 为（）

A、 $13 c m$ B、 $16 c m$ C、 $17 c m$ D、 $26 c m$

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8. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + m x + m^{2} - m (m$ 为常数 $)$ 的图象经过点 $(0 ， 6)$ ，其对称轴在 $y$ 轴左侧，则该二次函数有（）

A、最大值 $5$ B、最大值 $\frac{15}{4}$ C、最小值 $5$ D、最小值 $\frac{15}{4}$

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 如图，在数轴上，点 $A$ 表示 $\sqrt{3}$ ，点 $B$ 与点 $A$ 位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点 $B$ 表示的数是．

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10. 如图，正八边形的边长为 $2$ ，对角线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $E .$ 则线段 $B E$ 的长为．

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11. 点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 的对称中心， $∠ B = 56 °$ ，连接 $A E$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为．

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12. 如图，在矩形 $O A B C$ 和正方形 $C D E F$ 中，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $C$ ， $F$ 均在 $x$ 轴正半轴上，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B C = 2 C D$ ， $A B = 3 .$ 若点 $B$ ， $E$ 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4 .$ 点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $E D = 3$ ， $M$ 、 $N$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的动点，且 $B M = B N$ ， $P$ 是线段 $C E$ 上的动点，连接 $P M$ ， $P N .$ 若 $P M + P N = 4 .$ 则线段 $P C$ 的长为．

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三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 解不等式： $\frac{3 x - 5}{2} > 2 x .$

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15. 计算： $\sqrt{5} \times (- \sqrt{10}) - (\frac{1}{7})^{- 1} + | - 2^{3} |$ ．

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16. 化简： $(\frac{3 a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{2 a - 1}{a + 1}$ ．

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17. 如图 $.$ 已知角 $△ A B C$ ， $∠ B = 48 °$ ，请用尺规作图法，在 $△ A B C$ 内部求作一点 $P .$ 使 $P B = P C .$ 且 $∠ P B C = 24 ° .$ $($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 20 ° .$ 过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ，延长 $E A$ 至点 $D .$ 使 $A D = A C .$ 在边 $A C$ 上截取 $A F = A B$ ，连接 $D F .$ 求证： $D F = C B$ ．

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19. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是 $1$ ， $1$ ， $2$ ， $3 .$ 这些小球除标有的数字外都相同．

(1)、从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是 $1$ 的概率为；

(2)、先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．

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20. 小红在一家文具店买了一种大笔记本 $4$ 个和一种小笔记本 $6$ 个，共用了 $62$ 元 $.$ 已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多 $3$ 元，求该文具店中这种大笔记本的单价．

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21. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯 $($ 灯杆底部不可到达 $)$ 的高 $A B .$ 如图所示，当小明爸爸站在点 $D$ 处时，他在该景观灯照射下的影子长为 $D F$ ，测得 $D F = 2.4 m$ ；当小明站在爸爸影子的顶端 $F$ 处时，测得点 $A$ 的仰角 $α$ 为 $26.6 ° .$ 已知爸爸的身高 $C D = 1.8 m$ ，小明眼睛到地面的距离 $E F = 1.6 m$ ，点 $F$ 、 $D$ 、 $B$ 在同一条直线上， $E F ⊥ F B$ ， $C D ⊥ F B$ ， $A B ⊥ F B .$ 求该景观灯的高 $A B . ($ 参考数据： $s i n 26.6 ° \approx 0.45$ ， $c o s 26.6 ° \approx 0.89$ ， $t a n 26.6 ° \approx 0.50)$

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22. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径 $($ 树的主干在地面以上 $1.3 m$ 处的直径 $)$ 越大，树就越高 $.$ 通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高 $y (m)$ 是其胸径 $x (m)$ 的一次函数 $.$ 已知这种树的胸径为 $0.2 m$ 时，树高为 $20 m$ ；这种铜的胸径为 $0.28 m$ 时，树高为 $22 m$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、当这种树的胸径为 $0.3 m$ 时，其树高是多少？

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23. 某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了

20

棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数

.

其数据如下：

28

，

36

，

37

，

39

，

42

，

45

，

46

，

47

，

48

，

50

，

54

，

54

，

54

，

54

，

55

，

60

，

62

，

62

，

63

，

64 .

通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：

分组	频数	组内小西红柿的总个数
$25 \leq x < 35$	$1$	$28$
$35 \leq x < 45$	$n$	$154$
$45 \leq x < 55$	$9$	$452$
$55 \leq x < 65$	$6$	$366$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、补全频数分布直方图：这

20

个数据的众数是 ▲ ；

(2)、求这

20

个数据的平均数；

(3)、“校园农场“中共有

300

棵这种西红柿植株，请估计这

300

棵西红柿植株上小西缸柿的总个数．

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，过点 $B$ 作 $B C$ 的垂线，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，并与 $C A$ 的延长线交于点 $E$ ，作 $B F ⊥ A C$ ，垂足为 $M$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $B D = B C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径 $r = 3$ ， $B E = 6$ ，求线段 $B F$ 的长．

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25. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 $48 m^{3}$ ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案 $.$ 现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 $O N = 12 m$ ，拱高 $P E = 4 m .$ 其中，点 $N$ 在 $x$ 轴上， $P E ⊥ O N$ ， $O E = E N$ ．

方案二，抛物线型拱门的跨度 $O N' = 8 m$ ，拱高 $P' E' = 6 m .$ 其中，点 $N'$ 在 $x$ 轴上， $P' E' ⊥ O' N'$ ， $O' E' = E' N'$ ．

要在拱门中设置高为 $3 m$ 的矩形框架，其面积越大越好 $($ 框架的粗细忽略不计 $) .$ 方案一中，矩形框架 $A B C D$ 的面积记为 $S_{1}$ ，点 $A$ 、 $D$ 在抛物线上，边 $B C$ 在 $O N$ 上；方案二中，矩形框架 $A' B' C' D'$ 的面积记为 $S_{2}$ ，点 $A'$ ， $D'$ 在抛物线上，边 $B' C'$ 在 $O N'$ 上 $.$ 现知，小华已正确求出方案二中，当 $A' B' = 3 m$ 时， $S_{2} = 12 \sqrt{2} m^{2}$ ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1)、求方案一中抛物线的函数表达式；

(2)、在方案一中，当 $A B = 3 m$ 时，求矩形框架 $A B C D$ 的面积 $S_{1}$ 并比较 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的大小．

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26.

(1)、如图 $①$ ，在 $△ O A B$ 中， $O A = O B$ ， $∠ A O B = 120 °$ ， $A B = 24 .$ 若 $⊙ O$ 的半径为 $4$ ，点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，点 $M$ 在 $A B$ 上，连接 $P M$ ，求线段 $P M$ 的最小值；

(2)、如图 $②$ 所示，五边形 $A B C D E$ 是某市工业新区的外环路，新区管委会在点 $B$ 处，点 $E$ 处是该市的一个交通枢纽 $.$ 已知： $∠ A = ∠ A B C = ∠ A E D = 90 °$ ， $A B = A E = 10000 m$ ， $B C = D E = 6000 m .$ 根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形 $A F D E$ 区域内 $($ 含边界 $)$ 修一个半径为 $30 m$ 的圆型环道 $⊙ O$ ；过圆心 $O$ ，作 $O M ⊥ A B$ ，垂足为 $M$ ，与 $⊙ O$ 交于点 $N .$ 连接 $B N$ ，点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $E P .$ 其中，线段 $B N$ 、 $E P$ 及 $M N$ 是要修的三条道路，要在所修迅路 $B N$ 、 $E P$ 之和最短的情况下，使所修道路 $M N$ 最短，试求此时环道 $⊙ O$ 的圆心 $O$ 到 $A B$ 的距离 $O M$ 的长．

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