黑龙江省齐齐哈尔市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-29 类型：中考真卷

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一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1. －9的相反数是（）

A、－9 B、9 C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $3 b^{2} + b^{2} = 4 b^{4}$ B、 ${(a^{4})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(- x^{2})}^{2} = x^{4}$ D、 $3 a \cdot 2 a = 6 a$

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，分别与直线l交于点A，B，把一块含 $30 °$ 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $135 °$ B、 $105 °$ C、 $95 °$ D、 $75 °$

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5. 如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如果关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 1} = 1$ 的解是负数，那么实数m的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ B、 $m > - 1$ 且 $m \neq 0$ C、 $m > - 1$ D、 $m < - 1$ 且 $m \neq - 2$

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7. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异.若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 4$ ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND.设点M运动的路程为 $x (0 \leq x \leq 4)$ ， $△ D M N$ 的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）

A、5种 B、6种 C、7种 D、8种

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，结合图象给出下列结论：

① $a b c > 0$ ；② $b = 2 a$ ；③ $3 a + c = 0$ ；

④关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + k^{2} = 0 (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根；

⑤若点 $(m ， y_{1})$ ， $(- m + 2 ， y_{2})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} = y_{2}$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题（每小题3分，满分21分）

11. 中国经济韧性强、潜力大、活力足，据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了23.1%.将308000000用科学记数法表示为.

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12. 如图，在四边形ABCD中， $A D = B C$ ， $A C ⊥ B D$ 于点O.请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形.

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13. 在函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + \frac{1}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是.

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14. 若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 $c m^{2}$ （结果保留 $π$ ）.

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15. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象的一支上，点B在反比例函数 $y = - \frac{k}{2 x}$ 图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为.

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16. 矩形纸片ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点M在AD边所在的直线上，且 $D M = 1$ ，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上， $O A = O B = 4$ ，连接AB，过点O作 $O A_{1} ⊥ A B$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ x$ 轴于点 $B_{1}$ ；过点 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ⊥ A B$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ x$ 轴于点 $B_{2}$ ；过点 $B_{2}$ 作 $B_{2} A_{3} ⊥ A B$ 于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $A_{3} B_{3} ⊥ x$ 轴于点 $B_{3}$ ；…；按照如此规律操作下去，则点 $A_{2023}$ 的坐标为.

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三、解答题（本题共7道大题，共69分）

18.

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 4 s i n 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + (4 - π)^{0}$

(2)、分解因式： $2 a^{3} - 12 a^{2} + 18 a$

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19. 解方程： $x^{2} - 3 x + 2 = 0$

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20. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查.将调查数据进行整理后分为五组：A组“ $0 < t \leq 45$ ”；B组“ $45 < t \leq 60$ ”；C组“ $60 < t \leq 75$ ”；D组“ $75 < t \leq 90$ ”；E组“ $t > 90$ ”.现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次调查的样本容量是 ▲ ，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是°，本次调查数据的中位数落在组内；

(3)、若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ 交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的 $⊙ O$ 经过点D，交AB于点F，连接DF.

(1)、求证：BC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B D = 5$ ， $t a n ∠ A D B = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $π$ ）.

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22. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， $\frac{2}{5}$ 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)、A，B两地之间的距离是千米， $a =$ ；

(2)、求线段FG所在直线的函数解析式；

(3)、货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）

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23. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)、发现问题：如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 30 °$ ，连接BE，CF，延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：， $∠ B D C =$ °；

(2)、类比探究：如图2，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 120 °$ ，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及 $∠ B D C$ 的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A F = 90 °$ ，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为点M.则BF，CF，AM之间的数量关系：；

(4)、实践应用：正方形ABCD中， $A B = 2$ ，若平面内存在点P满足 $∠ B P D = 90 °$ ， $P D = 1$ ，则 $S_{△ A B P} =$ .

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24. 综合与探究
如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上的点A，C坐标分别为 $(0 ， 2)$ ， $(4 ， 0)$ ，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且 $O M = 2$ ，连接AC，CM.

(1)、求点M的坐标及抛物线的解析式；

(2)、点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当 $S_{△ P A C} = S_{△ A C M}$ 时，求点P的坐标；

(3)、点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与 $△ C O M$ 相似，请直接写出点Q的坐标；

(4)、将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，点C的对应点为点 $C^{'}$ ，在抛物线平移过程中，当 $M A^{'} + M C^{'}$ 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为， $M A^{'} + M C^{'}$ 的最小值为.

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