广东省2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-29 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（）

A、 $- 5$ 元 B、0元 C、 $+ 5$ 元 D、 $+ 10$ 元

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2. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）

A、 $0.186 \times 1 0^{5}$ B、 $1.86 \times 1 0^{5}$ C、 $18.6 \times 1 0^{4}$ D、 $186 \times 1 0^{3}$

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4. 如图，街道 $A B$ 与 $C D$ 平行，拐角 $∠ A B C = 137 °$ ，则拐角 $∠ B C D =$ （）

A、 $43 °$ B、 $53 °$ C、 $107 °$ D、 $137 °$

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5. 计算 $\frac{3}{a} + \frac{2}{a}$ 的结果为（）

A、 $\frac{1}{a}$ B、 $\frac{6}{a^{2}}$ C、 $\frac{5}{a}$ D、 $\frac{6}{a}$

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6. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A、黄金分割数 B、平均数 C、众数 D、中位数

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7. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 > 1 \\ x < 4 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $- 1 < x < 4$ B、 $x < 4$ C、 $x < 3$ D、 $3 < x < 4$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ B A C = 50 °$ ，则 $∠ D =$ （）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $80 °$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过正方形 $O A B C$ 的三个顶点A，B，C，点B在 $y$ 轴上，则 $a c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 因式分解： $x^{2} - 1 =$ ．

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12. 计算 $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$ $=$ ．

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13. 某蓄电池的电压为 $48 V$ ，使用此蓄电池时，电流 $I$ (单位： $A$ )与电阻 $R$ (单位： $Ω$ )的函数表达式为 $I = \frac{48}{R}$ ，当 $R = 12 Ω$ 时， $I$ 的值为 $A$ ．

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14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．

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15. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．

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三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．

16.

(1)、计算： $\sqrt[3]{8} + | - 5 | + (- 1)^{2023}$ ；

(2)、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(0 ， 1)$ 与点 $(2 ， 5)$ ，求该一次函数的表达式．

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17. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．

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18. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 $A C = B C = 10 m$ ，两臂夹角 $∠ A C B = 100 °$ 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据 $s i n 50 ° \approx 0.766$ ， $c o s 50 ° \approx 0.643$ ， $t a n 50 ° \approx 1.192$ )

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ ；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)、应用与计算：在（1）的条件下， $A D = 4$ ， $A B = 6$ ，求 $B E$ 的长．

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20. 综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒

素材：一张正方形纸板．

步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；

步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．

猜想与证明：

(1)、直接写出纸板上 $∠ A B C$ 与纸盒上 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的大小关系；

(2)、证明（1）中你发现的结论．

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21. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)

数据统计表

试验序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A线路所用时间	15	32	15	16	34	18	21	14	35	20
B线路所用时间	25	29	23	25	27	26	31	28	30	24

数据折线统计图

根据以上信息解答下列问题：

	平均数	中位数	众数	方差
A线路所用时间	22	a	15	63.2
B线路所用时间	b	26.5	c	6.36

(1)、填空：

a =

；

b =

；

c =

；

(2)、应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

22. 综合探究
如图1，在矩形 $A B C D$ 中 $(A B > A D)$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点为 $A ′$ ，连接 $A A^{'}$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，连接 $C A^{'}$ ．

(1)、求证： $A A^{'} ⊥ C A^{'}$ ；

(2)、以点 $O$ 为圆心， $O E$ 为半径作圆．
①如图2， $⊙ O$ 与 $C D$ 相切，求证： $A A^{'} = \sqrt{3} C A^{'}$ ；

②如图3， $⊙ O$ 与 $C A^{'}$ 相切， $A D = 1$ ，求 $⊙ O$ 的面积．

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23. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的顶点A在 $x$ 轴的正半轴上，如图2，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 45 °)$ ， $A B$ 交直线 $y = x$ 于点 $E$ ， $B C$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ．

(1)、当旋转角 $∠ C O F$ 为多少度时， $O E = O F$ ；（直接写出结果，不要求写解答过程）

(2)、若点 $A (4 ， 3)$ ，求 $F C$ 的长；

(3)、如图3，对角线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交直线 $y = x$ 于点 $N$ ，连接 $F N$ ，将 $△ O F N$ 与 $△ O C F$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，设 $S = S_{1} - S_{2}$ ， $A N = n$ ，求 $S$ 关于 $n$ 的函数表达式．

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