（苏科版）2023-2024学年八年级上学期微专题提分精炼——等腰三角形与等边三角形

试卷更新日期：2023-06-29 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（）

A、②③ B、①③ C、①②④ D、①②③④

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = A C$ ， $A E = C D$ ， $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $P$ ， $B Q ⊥ A D$ 于 $Q$ .则下列数量关系正确的为（）

A、 $B P^{2} = 2 P Q^{2}$ B、 $3 B P^{2} = 4 B Q^{2}$ C、 $4 B P^{2} = 3 P Q^{2}$ D、 $2 B Q^{2} = 3 P Q^{2}$

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3. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A D$ 是底边 $B C$ 上的中线， $D E$ 是 $△ A B D$ 高线.图中与 $∠ B A D$ 一定相等的角有（不含本身）（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. 如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{2}{3} b$ B、 $\frac{1}{2} a + b$ C、a+ $\frac{1}{2}$ b D、 $\frac{3}{2}$ a

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 30 °$ ， D为BC上一点， $C D = A D = 4$ ，则BC的长为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点， $D E ∥ B C$ ， CD与BE交于点F，则图中全等三角形的对数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， AD是角平分线，且 $A D = 8$ ， $B C = 12$ ，点E为 $A C$ 中点，则 $D E$ 的值为（）

A、5 B、5.8 C、6 D、6.5

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9. 如图，以直角三角形 $A B C$ 的各边边长分别向外做等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内， $S_{1}$ 是小梯形面积， $S_{2}$ 是三个三角形重叠部分的面积， $S_{3}$ 是大梯形的面积， $S_{4}$ 是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（）

A、 $S_{1} = S_{4}$ B、 $S_{2} = S_{4}$ C、 $S_{3} = S_{4}$ D、 $S_{1} = S_{3}$

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10. 如图， $△ A O B ≌ △ A D C$ ， $∠ O ＝ ∠ D ＝ 90 °$ ，记 $∠ O A D ＝ α$ ， $∠ A B O ＝ β$ ，当 $B C ∥ O A$ 时，α与β之间的数量关系为（　　）

A、 $α ＝ β$ B、 $α ＝ 2 β$ C、 $α + β ＝ 90 °$ D、 $α + 2 β ＝ 180 °$

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二、填空题

11. 等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，顶角A为 $40 °$ ，平面内有一点P，满足 $A P = B C$ 且 $B P = B A$ ，则 $∠ P B C$ 的度数为 $°$ ．

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12. 如图，直线 $y = k x + 2$ 与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接 $B C$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，点M，N分别是线段 $A B ， A C$ 上的动点（M不与A，B重合），且满足 $∠ C M N = ∠ C B A$ .当 $△ C M N$ 为等腰三角形时，M的坐标为.

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13. 如图，等边三角形 $A B C$ ， $A B = 3$ ，点D，E，F分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，点P是线段 $D F$ 上的一动点，连接 $B P$ ， $E P$ ，则 $△ B P E$ 周长的最小值是.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B C = 6$ ， D为 $A B$ 的中点，P为 $B C$ 上一动点，连接 $A P$ ， $D P$ ，则 $A P + D P$ 的最小值是.

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15. 已知等腰 $△ A B C$ ， $∠ A$ 的相邻外角为 $130 °$ ，则这个三角形的顶角为 $°$ .

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三、解答题

16. 如图，已知 $∠ A C E$ 是 $△ A B C$ 的一个外角， $C D$ 平分 $∠ A C E$ ，且 $C D ∥ A B$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D， $D E ⊥ A B$ 于点E， $A D = 4$ ，求 $A E$ 的长.

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18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数.

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19. △ABC中，AB=AC，E为AC中点，F为BE上一点，且CE=CF．若△ABC的三条边长均为偶数，且BF与BE两条线段长度的乘积为20. 求△ABC的周长．

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四、综合题

20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线BD的三等分点，连结AE，CF，AF，CE．

(1)、求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)、若四边形AECF为菱形，且AE＝BE，求 $∠$ BAD的度数．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，点E在 $B C$ 边上，连结 $A E$ ，将 $△ A E C$ 沿 $A E$ 翻折使得点D落在 $A B$ 边上得 $△ A E D$ ，连结 $D C$ ．

(1)、如图1， $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

(2)、如图2，若 $A B = B C$ ， $B D = D E$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $B E = A C$ ．

(1)、求证： $D$ 为线段 $C E$ 的中点．

(2)、若 $∠ B A C = 75 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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23. 定义：三角形一边上的点到三角形的另两条边的距离相等，称此点为这个三角形这边上的雅实心，如：
如图1，当点P在 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上时，若 $P D ⊥ B C$ 于点D， $P E ⊥ A B$ 于点E，且 $P D = P E$ ，则称点P为 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上的雅实心， $△ A B C$ 各边上的三个雅实心为顶点构成新三角形，叫做 $△ A B C$ 的雅实三角形.

(1)、如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 c m$ ， $B C = 12 c m$ ，求 $B C$ 边上的雅实心P到 $A B$ 的距离 $P D$ .

(2)、如图3，等边 $△ A B C$ 的边长为 $4 c m$ ，求等边 $△ A B C$ 的雅实三角形的面积.

(3)、如图4，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A，B分别在x，y轴上，且 $A (2 ， 0)$ ， $∠ B A O = 60 °$ ，求 $△ A O B$ 的斜边上的雅实心P的坐标.

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