湖北省荆州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-29 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）

1. 在实数－1， $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， 3.14中，无理数是（）

A、－1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、3.14

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2. 下列各式运算正确的是（）

A、 $3 a_{}^{2} b_{}^{3} - 2 a_{}^{2} b_{}^{3} = a_{}^{2} b_{}^{3}$ B、 $a_{}^{2} \cdot a_{}^{3} = a_{}^{6}$ C、 $a_{}^{6} \div a_{}^{2} = a_{}^{3}$ D、 $(a_{}^{2})_{}^{3} = a_{}^{5}$

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3. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）

A、主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 B、左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 C、俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 D、主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形

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4. 已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A)与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（ $I = \frac{U}{R}$ )．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $k = \sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ ，则与 $k$ 最接近的整数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x₁ ， x₂ ， …，x₁₀ ，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）

A、这组数据的平均数 B、这组数据的方差 C、这组数据的众数 D、这组数据的中位数

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7. 如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD， $∠ B = ∠ D = 80 ° ，^{} ∠ E = ∠ F = 47 °$ ，则图中∠G的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $76 °$ C、 $66 °$ D、 $56 °$

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8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} y = x + 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} y = x - 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$

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9. 如图，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转 $90 °$ 得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）

A、（2，5） B、（3，5） C、（5，2） D、（ $\sqrt{13}$ ， 2）

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10. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ $\overset{⌢}{A C}$ ），点O是这段弧所在圆的圆心，B为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，OB⊥AC于D. 若AC= $300 \sqrt{3}$ m，BD=150m，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $300 π$ m B、 $200 π$ m C、 $150 π$ m D、 $100 \sqrt{3} π$ m

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 若 $| a - 1 | + （ b - 3 ）^{2} = 0$ ，则 $\sqrt{a + b}$ = ．

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12. 如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若 $A C = 8$ ， $C D = 5$ ，则DE= ．

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13. 某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有人参与A类运动最多．

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14. 如图，∠AOB=60^o ，点C在OB上，OC= $2 \sqrt{3}$ ， P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为．

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15. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30^o ，底部C的俯角为60^o ，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.1）

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16. 如图，点A（2，2）在双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C. 若BC=2，则点C的坐标是．

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三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）

17. 先化简，再求值：
$(\frac{2 x - y}{x + y} - \frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}) \div \frac{x - y}{x + y}$ ，其中 $x = {(\frac{1}{2})}^{- 1} ， y = (- 2023)^{0} .$

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - (2 k + 4) x + k - 6 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k = 1$ 时，用配方法解方程．

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19. 如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD=CE．

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20. 首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．

组别	身高分组	人数
A	155≤x＜160	3
B	160≤x＜165	2
C	165≤x＜170	m
D	170≤x＜175	5
E	175≤x＜180	4

根据以上信息回答：

(1)、这次被调查身高的志愿者有人，表中的

m =

，扇形统计图中α的度数是；

(2)、若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．

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21. 如图，在菱形ABCD中， $D H ⊥ A B$ 于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．

(1)、求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA；

(2)、若AB=5，DB=6 ，求 $s i n ∠ D F E$ ．

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22. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．

(1)、求A，B饰品每件的进价分别为多少元？

(2)、若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．

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23. 如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作 ∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．

(1)、如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；

(2)、如图3，在Rt△APC中，∠A=90°， $A C > A P$ ，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；

②若AP：PB=1：2，BF= $\sqrt{2}$ k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

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24. 已知：y关于x的函数 $y = (a - 2) x^{2} + (a + 1) x + b$ ．

(1)、若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 $a = 4 b$ ，则a的值是；

(2)、如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（-2，0），B（4，0），并与动直线l： $x = m (0 < m < 4)$ 交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为 $S_{1}^{}$ ， △CDE的面积为 $S_{2}^{}$ ．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；

②探究直线l在运动过程中， $S_{1}^{}$ － $S_{2}^{}$ 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

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