（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系同步测试

试卷更新日期：2023-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 设 $a ， b$ 是方程 $x^{2} + x - 2020 = 0$ 的两个实数根，则 $(a - 1) (b - 1)$ 的值为（）

A、 $- 2022$ B、2018 C、 $- 2018$ D、2022

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2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程x²－7x＋c＋7＝0的两根，那么AB边上的中线长是（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、5 D、2

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3. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为1和-1，则 $b^{2} - c^{2}$ 的值为（）.

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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4. 已知方程 $x^{2} + 2019 x - 3 = 0$ 的两根分别是 $α$ 和 $β$ ，则代数式 $α^{2} + α β + 2019 α$ 的值为（）

A、1 B、0 C、2019 D、-2019

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5. 若一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ 有两实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2} ，$ 下列选项正确的是（）

A、 $x_{1} = x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ C、 $x_{1} x_{2} = - 6$ D、 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = - 2$

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6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $3 x_{1} + 3 x_{2} - x_{1} x_{2} = 5$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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7. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 10 = 0$ 的两个实根，则 ${x_{1}}^{3} - 10 x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、21

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8. 若一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ ，则 $m$ 的值是（）

A、-1 B、3 C、2或-1 D、-3或1

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9. 若m、n是关于x的方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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10. 设 $a^{2} + 1 = 3 a$ ， $b^{2} + 1 = 3 b$ ，且 $a \neq b$ ，则代数式 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ 的值为（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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二、填空题

11. 已知a、b是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的根，则式子 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为.

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $m =$ .

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13. 若实数 $a$ ， $b$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根，则 $2 a + 2 b - a b + 1 =$ .

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14. 若m、n是一元二次方程 $2 x^{2} - 2022 x + 5 = 0$ 的两个根，则 $m + n$ 的值为．

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15. 已知m，n是方程x²+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝．

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三、解答题

16. 已知x₁ ， x₂是关于x的方程x²-2x+m-2=0的两个实数根，若3x₁+3x₂-x₁x₂=5，求m 的值.

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17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + 2 k^{2} = 0$ 的两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ ，求k的值．

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18. 已知关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + k x - 1 = 0$
①求证：方程有两个不相等的实数根．

②若方程的一个根是 $x = - 1 ，$ 求另一个根及 $k$ 的值．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $5 x^{2} + k x - 10 = 0$ 一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．

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四、综合题

20. 已知关于x的方程 $x^{2} - 3 a x - 3 a - 6 = 0$ ，

(1)、求证：方程恒有两不等实根；

(2)、若x₁ ， x₂是该方程的两个实数根，且 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 1$ ，求a的值.

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21. 已知：平行四边形 $A B C D$ 的两边 $A B$ ， $A D$ 的长是关于x的方程 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ 的两个实数根.

(1)、m为何值时，四边形 $A B C D$ 是菱形？

(2)、若 $A B$ 的长为3，求 $▱ A B C D$ 的周长.

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22. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = a$ ， $A C = b (a < b)$ ， $A B = 5$ ， $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} - (m - 1) x + (m + 4) = 0$ 的两根.

(1)、求 $a$ ， $b$ ；

(2)、 $P$ ， $Q$ 两点分别从 $A$ ， $C$ 出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边 $A C$ ， $B C$ 向终点 $C$ ， $B$ 运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后 $P Q = 2$ ？

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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