（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册1.2 一元二次方程的解法同步测试

试卷更新日期：2023-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 7$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 7$

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2. 若关于x的一元二次方程 ( k-2)x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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3. 方程 ${(x - 2)}^{2} = 3 (x - 2)$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 3$ C、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 5$

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4. 若一元二次方程 $a x^{2} - x + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）

A、 $a < \frac{1}{8}$ B、 $a < \frac{1}{8}$ 且 $a \neq 0$ C、 $a \leq \frac{1}{8}$ 且 $a \neq 0$ D、 $a > \frac{1}{8}$

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5. 把方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则 $a$ 、 $b$ 的值分别是（）

A、2，9 B、2，7 C、-2，9 D、-2，7

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6. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、只有一个实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根

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7. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 没有实数根，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上的两个点，若x₁<x₂<0，则y₁、y₂的大小关系为（）

A、y₁>y₂ B、y₁<y₂ C、y₁=y₂ D、不能确定

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8. 若关于x的一元二次方程 $(k - 2) x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k \leq 1$ B、 $k \leq 1$ 且 $k \neq 2$ C、 $k \geq 1$ 且 $k \neq 2$ D、 $k \geq 2$

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9. 一元二次方程 $\sqrt{3} x^{2} + 4 \sqrt{2} x = 2 \sqrt{3}$ 根的判别式 $Δ$ 的值为（）．

A、56 B、16 C、36 D、28

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10. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（）

A、② B、③ C、④ D、⑤

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二、填空题

11. 关于x的方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则m的值是.

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图像的一部分如图所示，下列结论：① $a b > 0$ ；② $a - b + c < 0$ ；③ $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 有两个相等的实数根；④ $- 4 a < b < - 2 a$ .其中正确的为（只填序号）.

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13. 小华在解方程 $x^{2} = 8 x$ 时，只得出一个根是 $x = 8$ ，则被他漏掉的一个根是 $x =$ .

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + x + c = 0$ 的两根为 $- 1$ 、 $2$ ，则方程 $c x^{2} - x + a = 0$ 的两根为.

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15. 用因式分解法解一元二次方程 ${(x - 1)}^{2} - 4 = 0$ 时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是 $x - 1 + 2 = 0$ ，则另一个方程是，一元二次方程 ${(x - 1)}^{2} - 4 = 0$ 的解是．

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三、计算题

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 = 7$ ；

(2)、 $x^{2} - 8 x - 20 = 0$ ．

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17. 用适当的方法解下列方程

(1)、 $x^{2} - 2 x = 2 x + 1$ ；

(2)、 $x (2 x + 3) = 2 x + 3$ .

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18. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 10 = 0$

(2)、 $4 {(2 y - 5)}^{2} = 9 {(3 y - 1)}^{2}$

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四、解答题

19. 已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程 $x^{2} - 2 m x + 4 m - 4 = 0$ 的两个实数根.当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + k = 0$ 有两个实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解.

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 2 m - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为正整数，求此时方程的根.

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22. 阅读下面的例题，
范例：解方程 $x^{2} - | x | - 2 = 0$ ，

解：（1）当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ ，请参照例题解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$

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23. 定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} = 3 x$ 与 $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ 是“友好方程”，求 $m$ 的值．

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24. 定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m²n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)²×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x²－bx＋a＝0的根的情况.

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一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

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