甘肃省张掖市高台县2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题

试卷更新日期：2023-06-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有多少种不同取法；从书架的第1层､第2层､第3层各取1本书，有多少种不同取法.（）

A、9，20 B、20，9 C、9，24 D、24，9

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2. 下列函数中，不存在极值点的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = x \cdot l n x$ D、 $y = - 2 x^{3} - x$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{6} = a_{2} + 4$ ，则 $S_{17} =$ （）

A、4 B、68 C、136 D、272

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4. 若存在过点 $(0 ， - 2)$ 的直线与曲线 $y = x^{3}$ 和曲线 $y = x^{2} - x + a$ 都相切，则实数 $a$ 的值是（）

A、2 B、1 C、0 D、-2

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的切线，若两条切线互相垂直，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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6. “三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一”“三分益一”.取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到 $\frac{2}{3}$ 弦，“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到 $\frac{4}{3}$ 弦.以官为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫､商､角､徵､羽，合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是（）

A、徵､商､羽､角 B、徵､羽､商､角 C、商､角､徵､羽 D、角､羽､商､徵

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7. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导数 $f^{'} (x)$ ，对任意的 $x \in R$ 有 $f^{'} (x) > x$ .若 $f (1 - k) - f (k) ⩾ \frac{1}{2} - k$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 0]$ B、 $(- ∞ ， \frac{1}{2}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1]$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x ⩽ 0 ， \\ l n \frac{1}{x} ， x > 0 . \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - a | x |$ 恰有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， - \frac{1}{e}) \cup [0 ， + ∞)$ B、 $[- 2 ， - \frac{1}{e}] \cup (0 ， + ∞)$ C、 $(- e ， 0) \cup [2 ， + ∞)$ D、 ${- \frac{1}{e}} \cup [0 ， + ∞)$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知在 $R$ 上可导的函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则下列区间是不等式 $x \cdot f^{'} (x) < 0$ 解集的子区间的是（）

A、 $(- ∞ ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + ∞)$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1 ， S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 1$ ，数列 ${\frac{2^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、 ${a_{n} + 1}$ 是等差数列 B、 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、 $T_{n} < 1$

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11. 阿基米德是古希腊伟大的物理学家､数学家､天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点 $A ， B$ 处的切线交于点 $P$ ，称 $△ P A B$ 为“阿基米德三角形”.已知抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，过 $A ， B$ 两点的直线的方程为 $\sqrt{3} x - 3 y + 6 =$ 0，关于“阿基米德三角形” $△ P A B$ ，下列结论正确的是（）

A、 $| A B | = \frac{32}{3}$ B、 $P A ⊥ P B$ C、点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{3} ， - 2)$ D、 $P F ⊥ A B$

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12. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x ⩾ 0$ 时， $f^{'} (x) + s i n 2 x < 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $y = f (x) - x$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减 C、不等式 $f (x) - f (x + \frac{π}{2}) < c o s 2 x$ 的解集为 $(- ∞ ， - \frac{π}{4})$ D、不等式 $f (x) - f (x + \frac{π}{2}) < c o s 2 x$ 的解集为 $(- \frac{π}{4} ， + ∞)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 1$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $4 x - y - 1 = 0$ ，则 $a b =$ .

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14. 为了进一步做好社区疫情防控工作，从医疗小组的2名医生､4名护士中任意选出2人分别担任组长和副组长，则有种不同的选法.

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15. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1 ， S_{n} + S_{n - 1} = n^{2} + 2 (n ⩾ 2)$ ，则 $S_{21} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - 2 l n x - x^{2} + a x$ ，若 $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 设函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{x} - 3 x + 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处取得极值.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值点.

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18. 已知定点 $O_{2} (2 ， 0)$ ，点 $P$ 为圆 $O_{1} ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 32$ （ $O_{1}$ 为圆心）上一动点，线段 $O_{2} P$ 的垂直平分线与直线 $O_{1} P$ 交于点 $G$ .

(1)、设点 $G$ 的轨迹为曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $O_{2}$ 且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与（1）中曲线 $C$ 交于 $D ， E$ 两点，当 $\vec{O_{1} D} \cdot \vec{O_{1} E}$ 取最大值时，求 $△ O_{1} D E$ 的面积.

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19. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n} ， b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，从① $a_{4} + a_{5} = 8$ ， ② $a_{3} a_{6} = \frac{55}{4}$ ， ③ $S_{10} =$ 50中选出两个作为条件，求数列 ${b_{n}}$ 的最大项.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x - x c o s x - x ， f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数.

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、 $g (x) = x^{2} - 2 x + a (a \in R)$ ，若对任意 $x_{1} \in [0 ， π]$ ，均存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - 2} - a l n (x - 1)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，研究 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $g (x) = \frac{x}{f (x + 2) + a l n (x + 1)}$ ，若存在 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，证明： $l n x_{2} - l n (1 - x_{1}) > l n 3$

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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