黑龙江省鹤岗市工农区2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题

试卷更新日期：2023-06-28 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 若集合 $A = {x | l o g_{2} x < 2}$ ，集合 $B = {x | x^{2} \geq 2 x + 3}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(0 ， 4)$

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2. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 4]$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{\sqrt{x - 1}} + (x - 2)^{0}$ 的定义域是（）

A、 $(1 ， 5]$ B、 $(1 ， 2) \cup (2 ， 5)$ C、 $(1 ， 2) \cup (2 ， 3]$ D、 $(1 ， 3]$

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3. 命题“ $\exists x > 0 ， a x^{2} + x + 1 < 0$ ”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（）

A、 $a \geq - \frac{1}{4}$ B、 $a \geq 0$ C、 $a \geq 1$ D、 $a < 1$

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4. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = \frac{2 - x}{x + 1}$ ，则 $f (x - 1) < 1$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{3}{2} ， + \infty)$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x + 3) + f (3 - x) = 0$ ，且当 $- 3 < x < 0$ 时， $f (x) = 2^{- x + 2}$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $8$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $- 8$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 3 ， & x \leq 2 \\ 6 + l o g_{a} x ， & x > 2 \end{array} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域是 $(- ∞ ， 4]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， \sqrt{2}]$ D、 $(1 ， \sqrt{2})$

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7. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (2 x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = a^{x} + b$ .若 $f (0) + f (3) = - 1$ ，则（）

A、 $b = - 1$ B、 $f (2023) = - 1$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 对称

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8. 已知 $a = l n \sqrt{2} ， b = \frac{1}{e} ， c = l n 3 - \frac{2}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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二、多选题（本题共有4道小题，每小题5分，共20分.有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的0分）

9. 下列说法中正确的是（）

A、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2^{x} < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2^{x} \geq 0$ ” B、函数 $f (x) = a^{x - 3} + 3$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象经过定点 $A (3 ， 4)$ C、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 6 m + 9) x^{m^{2} - 3 m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $m$ 的值为 $4$ D、函数 $f (x) = l o g_{5} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间是 $[1 ， + \infty)$

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10. 下列结论中，正确的结论有（）

A、如果 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，那么 $a + b$ 的最小值为4 B、如果 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，那么 $x (4 - 3 x)$ 取得最大值为 $\frac{4}{3}$ C、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、如果 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 3 y + x y = 9$ ，那么 $x + 3 y$ 的最小值为6

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x + 1 ， x \leq 0 ， \\ x^{a} ， x > 0 ， \end{array}$ 则以下说法正确的是（）

A、若 $a = - 1$ ，则 $f (x)$ 是 $(0 ， + \infty)$ 上的减函数 B、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 有最小值 C、若 $a = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ D、若 $a = 3$ ，则存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) = f (2 - x_{0})$

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12. 设定义在R上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ．若 $f (x) - g (4 - x) = 2$ ， $g^{'} (x) = f^{'} (x - 2)$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数，则（）．

A、 $\forall x \in R$ ， $f (4 + x) + f (- x) = 0$ B、 $g (3) + g (5) = 4$ C、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} g (k) = 0$

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三、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共计20分)

13. 已知 $f (x)$ 为一次函数，且 $f [f (x)] = 4 x - 3$ ，则 $f (1)$ 的值为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ x^{2} + 4 x + 3 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有四个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{x_{3} x_{4}}{(x_{1} + 1) (x_{2} - 1)}$ 的取值范围是．

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15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数 $y = [x]$ ， $x \in R$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[π] = 3$ ， $[- 0.5] = - 1$ ，已知 $f (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 1} - 1$ ，则函数 $y = 3 [f (x)] - 2 [f (- x)]$ 的值域为.

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16. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在 $(a ， b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 是 $(a ， b)$ 上的“严格凸函数”，称区间 $(a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .
①函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为“严格凸函数”；

②函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的“严格凸区间”为 $(0 ， e^{\frac{3}{2}})$ ；

③函数 $f (x) = e^{x} - x \ln x - \frac{m}{2} x^{2}$ 在 $(1 ， 4)$ 为“严格凸函数”，则m的取值范围为 $[e - 1 ， + \infty)$ .

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四、解答题（本题共6道小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数 $m$ 存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 6}$ ， $B = {x | 1 - m \leq x \leq 1 + m ， m > 0}$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 成立的 ▲ 条件，判断实数 $m$ 是否存在？

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18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 $W$ (单位：千克)与施用肥料 $x$ (单位：千克)满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 3) ， 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x} ， 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为 $10 x$ 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费) $20 x$ 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 $f (x)$ (单位：元)

(1)、写单株利润 $f (x)$ (元)关于施用肥料 $x$ (千克)的关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

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19. 函数 $f (x)$ 对任意 $x$ ， $y \in R$ ，总有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ ．

(1)、证明 $f (x)$ 是奇函数；

(2)、证明 $f (x)$ 在 $R$ 上是单调递增函数；

(3)、若 $f (x) + f (x - 3) \geq - 1$ ，求实数 $x$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = x l n x - a (x^{2} - 1)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；

(3)、若不等式 $f (x) \leq 0$ 对 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + (k - 2) \cdot 3^{- x}$ （x∈R）为奇函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若对 $\forall x \in$ [-2，-1]，不等式 $f (x) + m · 3^{x}$ ≤6恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = λ f (x) - (3^{x} + 3^{- x})^{2}$ -5在[1，+∞]上有零点，求实数 $λ$ 的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (2 a - 1) x - l n x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - (2 a - 1) x - 1$ 存在两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > \frac{1}{e}$ .

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