（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册1.2 一定是直角三角形吗同步测试

试卷更新日期：2023-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， 2 B、1，2， $\sqrt{7}$ C、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ D、4，5，6

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2. 将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）

A、同加一个相同的数 B、同减一个相同的数 C、同乘以一个相同的正整数 D、同时平方

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $10$ ， $A G = C H = 8$ ， $B G = D H = 6$ ，连结 $G H$ ，则线段 $G H$ 的长为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{8}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $10 - 5 \sqrt{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，下列所给数据中，能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a = 3^{2} ， b = 4^{2} ， c = 5^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ C、 $∠ A = 2 ∠ B = 3 ∠ C$ D、 $∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C = 2 ∶ 5 ∶ 2$

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5. 如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ .现在取出这三条线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（）

A、能拼成一个锐角三角形 B、能拼成一个直角三角形 C、能拼成一个钝角三角形 D、不能拼成三角形

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6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边分别是a，b，c，下列条件中不能说明 $△ A B C$ 是直角三角形是（）

A、 $b^{2} = (a + c) (a - c)$ B、 $a ： b ： c = 1 ： \sqrt{3} ： 2$ C、 $∠ C = ∠ A - ∠ B$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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7. 已知 $△ ABC$ 的三条边之比为3：4：5，则这个三角形是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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8. 已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（　　）

A、 $\frac{60}{13}$ B、5 C、 $\frac{30}{13}$ D、12

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9. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得 $A B = 3$ m， $B C = 4$ m， $D A = 13$ m， $C D = 12$ m，且 $∠ A B C = 90 °$ ．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（）

A、16800元 B、7200元 C、5100元 D、无法确定

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10. 如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，则线段GH的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $10 - 5 \sqrt{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{5}$

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二、填空题

11. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，可以判断△ABC为直角三角形的是___．

(1)、a²＝b²﹣c²；（2）∠A＝∠B﹣∠C；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a：b：c＝3：4：5；（5）∠A＝ $\frac{1}{2}$ ∠B＝ $\frac{1}{3}$ ∠C．

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12. 如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为度．

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13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 $1$ ，点 $A ， B ， C$ 在小正方形的格点上，连接 $A B ， B C$ ，则 $∠ A B C =$ $^{∘}$ .

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14. 如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2， $90 °$ )，目标B 的位置为(4， $30 °$ )，现有一个目标C的位置为(3， $m °$ )，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为．

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15. 下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝ $\frac{3}{5}$ c，b＝ $\frac{4}{5}$ c；④a∶b∶c＝1∶2： $\sqrt{3}$ ，则能确定△ABC是直角三角形的条件有个．

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三、解答题

16. 如图，一块四边形的空地， $∠ B = 90 °$ ， AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m.为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植 $1 m^{2}$ 草坪需要花费30元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？

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17. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正数，满足如下两个条件：
$a + b + c = 32$ ①
$\frac{b + c - a}{b c} + \frac{c + a - b}{c a} + \frac{a + b - c}{a b} = \frac{1}{4}$ ②
证明：以 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{b}$ ， $\sqrt{c}$ 为三边长可构成一个直角三角形.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $A B$ 边上一点，已知 $A C = 13$ ， $C D = 12$ ， $A D = 5$ ， $A B = B C$ ．请判断 $△ A C D$ 的形状，并求出 $B C$ 的长．

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19. 如图，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A E ⊥ D E$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{5}$ ， $D E = 3$ ， $A E = 4$ ，求五边形 $A B C D E$ 的面积．

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四、综合题

20. 如图，P是等边 $△ A B C$ 内的一点，连接 $P A ， P B ， P C$ ，以 $B P$ 为边作 $∠ P B Q = 60 °$ ，且 $B Q = B P$ ，连接 $C Q$ .若 $P A ： P B ： P C = 3 ： 4 ： 5$ ，连接 $P Q$ .

(1)、证明： $△ A B P ≌ △ C B Q$ ；

(2)、求 $∠ B Q C$ 的度数.

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21. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

(1)、已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.

(2)、已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 12 ， A C = 16 B C = 20$ .

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、若点 $P$ 为线段 $A C$ 上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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