福建省2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-28 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 下列实数中，最大的数是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）

A、1 B、5 C、7 D、9

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4. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（）

A、 $104 \times 1 0^{7}$ B、 $10.4 \times 1 0^{8}$ C、 $1.04 \times 1 0^{9}$ D、 $0.104 \times 1 0^{10}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ D、 $a^{2} - a = a$

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6. 根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）

A、 $43903.89 (1 + x) = 53109.85$ B、 $43903.89 (1 + x)^{2} = 53109.85$ C、 $43903.89 x^{2} = 53109.85$ D、 $43903.89 (1 + x^{2}) = 53109.85$

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7. 阅读以下作图步骤：
①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O C ， O D$ ，使 $O C = O D$ ；②分别以 $C ， D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点 $M$ ；③作射线 $O M$ ，连接 $C M ， D M$ ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $C M = D M$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ 且 $C M = D M$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $O D = D M$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$ 且 $O D = D M$

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8. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．

根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（）

A、平均数为70分钟 B、众数为67分钟 C、中位数为67分钟 D、方差为0

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9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 和 $y = \frac{n}{x}$ 的图象的四个分支上，则实数 $n$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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10. 我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $π$ 的近似值为3.1416．如图， $⊙ O$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $⊙ O$ 的面积，可得 $π$ 的估计值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $π$ 的估计值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作 $+ 10$ ，那么出货5件应记作．

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12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $O$ 为 $B D$ 的中点， $E F$ 过点 $O$ 且分别交 $A B ， C D$ 于点 $E ， F$ ．若 $A E = 10$ ，则 $C F$ 的长为．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， ∠ B = 60 °$ ，则 $A C$ 的长为．

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14. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：

项目应聘者	综合知识	工作经验	语言表达
甲	75	80	80
乙	85	80	70
丙	70	78	70

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按 $5 ： 2 ： 3$ 的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是．

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15. 已知 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，且 $a \neq - b$ ，则 $\frac{a b - a}{a + b}$ 的值为．

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)$ 经过 $A (2 n + 3 ， y_{1}) ， B (n - 1 ， y_{2})$ 两点，若 $A ， B$ 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $n$ 的取值范围是．

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三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 计算： $\sqrt{9} - 2^{0} + | - 1 |$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 < 3 ， ① \\ \frac{x}{2} + \frac{1 - 3 x}{4} \leq 1 . ② \end{array}$

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19. 如图， $O A = O C ， O B = O D ， ∠ A O D = ∠ C O B$ ．

求证： $A B = C D$ ．

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20. 先化简，再求值： $(1 - \frac{x + 1}{x}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， C O$ 的延长线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 的切线 $A F$ 于点 $F$ ，且 $A F ∥ B C$ ．

(1)、求证： $A O ∥ B E$ ；

(2)、求证： $A O$ 平分 $∠ B A C$ ．

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22. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．

(1)、求该顾客首次摸球中奖的概率；

(2)、假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由

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23. 阅读下列材料，回答问题

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度 $A B$ 远大于南北走向的最大宽度，如图1．

工具：一把皮尺（测量长度略小于 $A B$ ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 $O$ 处，对其视线可及的 $P ， Q$ 两点，可测得 $∠ P O Q$ 的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 $A B$ ，其测量及求解过程如下：测量过程：

（ⅰ）在小水池外选点 $C$ ，如图4，测得 $A C = a m ， B C = b m$ ；

（ⅱ）分别在 $A C ， B C$ 上测得 $C M = \frac{a}{3} m ， C N = \frac{b}{3} m$ ；测得 $M N = c m$ ．求解过程：

由测量知， $A C = a ， B C = b ， C M = \frac{a}{3} ， C N = \frac{b}{3}$ ，

$∴ \frac{C M}{C A} = \frac{C N}{C B} = \frac{1}{3}$ ，又 $∵$ ①____，

$∴ △ C M N ∽ △ C A B ， ∴ \frac{M N}{A B} = \frac{1}{3}$ ．

又 $∵ M N = c ， ∴ A B =$ ②____（ $m)$ ．

故小水池的最大宽度为____ $m$ ．

(1)、补全小明求解过程中①②所缺的内容；

(2)、小明求得

A B

用到的几何知识是；

(3)、小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得

A B

．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度

A B

，写出你的测量及求解过程．

要求：测量得到的长度用字母 $a ， b ， c ⋯$ 表示，角度用 $α ， β ， γ ⋯$ 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 $A B$ ，且测量的次数最少，才能得满分）．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交 $x$ 轴于 $A (1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点， $M$ 为抛物线的顶点， $C ， D$ 为抛物线上不与 $A ， B$ 重合的相异两点，记 $A B$ 中点为 $E$ ，直线 $A D ， B C$ 的交点为 $P$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若 $C (4 ， 3) ， D (m ， - \frac{3}{4})$ ，且 $m < 2$ ，求证： $C ， D ， E$ 三点共线；

(3)、小明研究发现：无论 $C ， D$ 在抛物线上如何运动，只要 $C ， D ， E$ 三点共线， $△ A M P ， △ M E P ， △ A B P$ 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

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25. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C ， D$ 是 $A B$ 边上不与 $A ， B$ 重合的一个定点． $A O ⊥ B C$ 于点 $O$ ，交 $C D$ 于点 $E$ ． $D F$ 是由线段 $D C$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到的， $F D ， C A$ 的延长线相交于点 $M$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ F M C$ ；

(2)、求 $∠ A B F$ 的度数；

(3)、若 $N$ 是 $A F$ 的中点，如图2．求证： $N D = N O$ ．

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