广西壮族自治区2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-28 类型：中考真卷

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分.）

1. 若零下2摄氏度记为 $- 2 ° C$ ，则零上2摄氏度记为（）

A、 $- 2 ° C$ B、 $0 ° C$ C、 $+ 2 ° C$ D、 $+ 4 ° C$

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2. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若分式 $\frac{1}{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq - 1$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \neq 1$ D、 $x \neq 2$

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4. 如图，点A、B、C在 $⊙ O$ 上， $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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5. $x \leq 2$ 在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下： $S_{甲}^{2} = 2.1$ ， $S_{乙}^{2} = 3.5$ ， $S_{丙}^{2} = 9$ ， $S_{丁}^{2} = 0.7$ ，则成绩最稳定的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果 $∠ A = 130 °$ ，那么 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $160 °$ B、 $150 °$ C、 $140 °$ D、 $130 °$

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8. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{4} = a^{7}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ C、 $a^{4} \div a^{3} = a^{7}$ D、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$

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9. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = {(x - 3)}^{2} + 4$ B、 $y = {(x + 3)}^{2} + 4$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} - 4$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} - 4$

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10. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 $37 m$ ，拱高约为 $7 m$ ，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A、 $20 m$ B、 $28 m$ C、 $35 m$ D、 $40 m$

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11. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（）

A、 $3.2 (1 - x)^{2} = 3.7$ B、 $3.2 (1 + x)^{2} = 3.7$ C、 $3.7 (1 - x)^{2} = 3.2$ D、 $3.7 (1 + x)^{2} = 3.2$

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12. 如图，过 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象于B，D两点，以 $A B$ ， $A D$ 为邻边的矩形 $A B C D$ 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，若 $S_{2} + S_{3} + S_{4} = \frac{5}{2}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）

13. 化简： $\sqrt{9}$ = ．

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14. 分解因式：a²+ 5a=.

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15. 函数 $y = k x + 3$ 的图象经过点 $(2 ， 5)$ ，则 $k =$ ．

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16. 某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是．

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17. 如图，焊接一个钢架，包括底角为 $37 °$ 的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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18. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $B C ， C D$ 上的动点，M，N分别是 $E F ， A F$ 的中点，则 $M N$ 的最大值为．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19. 计算： $(- 1) \times (- 4) + 2^{2} \div (7 - 5)$ ．

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20. 解分式方程： $\frac{2}{x - 1} = \frac{1}{x}$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 90 °$ ．

(1)、在斜边 $A C$ 上求作线段 $A O$ ，使 $A O = B C$ ，连接 $O B$ ；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)、若 $O B = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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22. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下：

学生成绩统计表

	七年级	八年级
平均数	7.55	7.55
中位数	8	c
众数	a	7
合格率	b	85%

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、写出统计表中a，b，c的值；

(2)、若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；

(3)、从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．

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23. 如图， $P O$ 平分 $∠ A P D$ ， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点A，延长 $A O$ 交 $P D$ 于点C，过点O作 $O B ⊥ P D$ ，垂足为B．

(1)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4， $O C = 5$ ，求 $P A$ 的长．

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24. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 上运动，满足 $A D = B E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A D F ≌ △ B E D$ ；

(2)、设 $A D$ 的长为x， $△ D E F$ 的面积为y，求y关于x的函数解析式；

(3)、结合（2）所得的函数，描述 $△ D E F$ 的面积随 $A D$ 的增大如何变化．

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25. 【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．

【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： $(m_{0} + m) \cdot l = M \cdot (a + y)$ .其中秤盘质量 $m_{0}$ 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】

目标：设计简易杆秤．设定 $m_{0} = 10$ ， $M = 50$ ，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．

任务一：确定l和a的值．

(1)、当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；

(2)、当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；

(3)、根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．

(4)、根据任务一，求y关于m的函数解析式；

(5)、从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

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26. 【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．

【动手操作】如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 对折，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，展平纸片，得到折痕 $E F$ ；折叠纸片，使点B落在 $E F$ 上，并使折痕经过点A，得到折痕 $A M$ ，点B，E的对应点分别为 $B^{'}$ ， $E^{'}$ ，展平纸片，连接 $A B^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $B E^{'}$ ．

请完成：

(1)、观察图1中 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 和 $∠ 3$ ，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片 $A B C D$ 的边 $A D$ 上的一点，连接 $B N$ ，在 $A B$ 上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕 $E F$ ；折叠纸片，使点B，P分别落在 $E F$ ， $B N$ 上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为 $B^{'}$ ， $P^{'}$ ，展平纸片，连接， $P^{'} B^{'}$ ．

(3)、证明 $B B^{'}$ 是 $∠ N B C$ 的一条三等分线．

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