（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系同步测试

试卷更新日期：2023-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知： $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 的两根，且 $x_{1} + x_{2} = 3$ ， $x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别是（）

A、 $a = - 3$ ， $b = 1$ B、 $a = 3$ ， $b = 1$ C、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = - 1$ D、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = 1$

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2. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根，且满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ ，则m的值为（）

A、-3或1 B、-1或3 C、-1 D、3

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3. 设 $a ， b$ 是方程 $x^{2} + x - 2020 = 0$ 的两个实数根，则 $(a - 1) (b - 1)$ 的值为（）

A、 $- 2022$ B、2018 C、 $- 2018$ D、2022

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4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程x²－7x＋c＋7＝0的两根，那么AB边上的中线长是（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、5 D、2

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5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $3 x_{1} + 3 x_{2} - x_{1} x_{2} = 5$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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6. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 的两不相等的实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 17 = 0$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ 或-3 B、-3 C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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7. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两根，则代数式 $2 a^{3} + 5 a + 3 b^{3} + 3 b + 1$ 的值是（）

A、19 B、20 C、14 D、15

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8. 已知 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的实数根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} \cdot x_{2}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 2$

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9. 若m、n是关于x的方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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10. 已知关于x的一元二次方程x²+mx+3=0有两个实数根x₁=1，x₂=n，则代数式（m+n）²⁰²²的值为（）

A、1 B、0 C、 $3^{2022}$ D、 $7^{2022}$

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二、填空题

11. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} =$ .

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $m =$ .

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13. 已知α，β是方程 $x^{2} + 2 x - 2022 = 0$ 的实数根，求 $α^{2} + α β + 2 α$ 的值为

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14. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) = 3$ ，则k的值是.

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15. 已知实数m，n满足m²+3m-2＝0，n²+3n-2＝0，则 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值为.

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三、解答题

16. 已知x₁ ， x₂是关于x的方程x²-2x+m-2=0的两个实数根，若3x₁+3x₂-x₁x₂=5，求m 的值.

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17. 已知一元二次方程 $x^{2} + 2 x + a - 1 ＝ 0$ 的一个根是1．求 $a$ 的值和方程的另一个根．

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18. 已知 $\sqrt{3}$ 是方程 $x^{2} - 4 \sqrt{3} x + k = 0$ 的一个根，求方程的另一个根及k的值．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 m$ ，求m的值．

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四、综合题

20. 已知关于x的方程 $x^{2} - 3 a x - 3 a - 6 = 0$ ，

(1)、求证：方程恒有两不等实根；

(2)、若x₁ ， x₂是该方程的两个实数根，且 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 1$ ，求a的值.

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21. 若关于x的方程 $x^{2} - 2 x + k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、设方程的两根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = x_{1} x_{2}$ ，求 $k$ 的值.

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22. 已知， $α ， β$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 - k = 0$ 的两个实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数k，使得等式 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = k + 3$ 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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