（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2023-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 方程 ${(x - 2)}^{2} = 3 (x - 2)$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 3$ C、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 5$

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2. 关于x的方程 $x^{2} + m x - m^{2} = - 5$ 的一个根是4，那么m的值是（）

A、-3或4 B、 $- 3$ 或7 C、3或4 D、3或7

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3. 方程 $(x - 3) (x + 2) = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = - 2$ D、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 2$

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4. 关于x，y的二次三项式 $x^{2} + m x y - 4 x ， y^{2} + m x y - 4 y$ （m为常数），下列结论正确的有（）
①当 $m = 1$ 时，若 $x^{2} + m x y - 4 x = 0$ ，则 $x + y = 4$
②无论x取任何实数，等式 $x^{2} + m x y - 4 x = 3 x$ 都恒成立，则 $x + m y = 7$
③若 $x^{2} + x y - 4 x = 5 ， y^{2} + x y - 4 y = 7$ ，则 $x + y = 6$
④满足 $x^{2} + x y - 4 x + y^{2} - x y - 4 y \leq 0$ 的正整数解 $(x ， y)$ 共有25个

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 的一个根，则该菱形的周长为（）

A、40 B、16 C、16或20 D、20

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6. 下列选项中的数是一元二次方程 $x^{2} + x = 8 - x$ 的根的是（）

A、 $- 2$ B、5 C、 $- 4$ D、4

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两根分别为 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 3$ ，则原方程可化为（）

A、 $(x - 2) (x - 3) = 0$ B、 $(x + 2) (x + 3) = 0$ C、 $(x - 2) (x + 3) = 0$ D、 $(x + 2) (x - 3) = 0$

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8. 已知3是关于x的方程x²－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）

A、7 B、10 C、11 D、10或11

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9. 若关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 5 x + m^{2} - 3 m + 2 = 0$ 有一个根为0，则m的值为（）

A、0 B、1或2 C、1 D、2

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10. 如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．有以下关于倍根方程的说法：
①方程x²−x−2＝0是倍根方程；②若(x−2)(mx＋n)＝0是倍根方程：则4m²＋5mn＋n²＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px²＋3x＋q＝0是倍根方程；

④若方程以ax²＋bx＋c＝0是倍根方程，则必有2b²＝9ac．

其中正确的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 方程 $x^{2} = 2 x$ 的解为.

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + x + c = 0$ 的两根为 $- 1$ 、 $2$ ，则方程 $c x^{2} - x + a = 0$ 的两根为.

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13. 已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ 的根，则这个三角形的周长为．

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14. 已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程 $x^{2} - 16 x + 60 = 0$ 的一个根，则该三角形的面积是．

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15. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对 $(a ， b)$ 进入其中时，会得到一个新的实数 $a^{2} + 2 b - 3$ ．例如把 $(2 ， - 5)$ 放入其中，就会得到 $2^{2} + 2 \times (- 5) - 3 = - 9$ ．现将实数对 $(m ， - 3 m)$ 放入其中，得到实数 $- 12$ ，则 $m =$ ．

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三、解答题

16. 解方程：

(1)、 (x-5)²=8(x-5)

(2)、 2x²-4x-3=0．

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17. 阅读下面的例题，
范例：解方程 $x^{2} - | x | - 2 = 0$ ，

解：（1）当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ ，请参照例题解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$

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18. 定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} = 3 x$ 与 $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ 是“友好方程”，求 $m$ 的值．

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19. 已知：m、n是方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 的两个实数根，且m＜n，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- m ， 0)$ ， $B (0 ， n)$ ，求这个抛物线的解析式．

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20. 先化简，再求值：（ $\frac{x}{x - 1} - x$ ）÷ $\frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中x的值是方程x²+2x﹣3＝0的解.

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四、综合题

21. 已知关于x的一元二次方程：x²-（m-3）x-m＝0.

(1)、证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；

(2)、当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根.

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22. 若关于x的方程mx²-2x+3＝0有两个实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、方程有两个相等的实数根时，求出方程的根.

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23. 阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

(1)、问题：方程 $6 x^{3} + 14 x^{2} - 12 x = 0$ 的解是： $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ ， $x_{3} =$ ；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，矩形草坪 $A B C D$ 的长 $A D = 21 m$ ，宽 $A B = 8 m$ ，点 $P$ 在 $A D$ 上（ $A P ＞ P D$ ），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点 $B$ ，把长绳 $P B$ 段拉直并固定在点 $P$ ，再拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$ ，求 $A P$ 的长．

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（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步测试

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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