（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2023-06-28 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 用配方法解方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（　　）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

查看试题解析
2. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{3}{4}$ B、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{3}{2}$ C、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ D、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{2}$

查看试题解析
3. 已知方程 $x^{2} - 6 x + 4 = □$ ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成 ${(x - p)}^{2} = 7$ 的形式，则印刷不清楚的数字是（）

A、6 B、9 C、2 D、-2

查看试题解析
4. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 6$

查看试题解析
5. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，用配方法解该方程，配方后的方程为（）

A、 $(x - 1)^{2} = 10$ B、 $(x - 1)^{2} = 8$ C、 $(x - 1)^{2} = 3$ D、 $(x - 1)^{2} = 4$

查看试题解析
6. 一元二次方程 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为 $x + 3 = \sqrt{5}$ ，则另一个一元一次方程为（）

A、 $x - 3 = \sqrt{5}$ B、 $x + 3 = 5$ C、 $x + 3 = - \sqrt{5}$ D、 $x + 3 = - 5$

查看试题解析
7. 用配方法将方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 变形为 $(x - 2)^{2} = m$ ，则 $m$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
8. 方程 $x^{2} + 2 x = 1$ 的左边配成完全平方后所得方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 1$

查看试题解析
9. 利用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 时，将方程配方为（x-m）²=n，则 $m$ 、 $n$ 的值分别为（）

A、 $m = 9$ ， $n = 2$ B、 $m = - 3$ ， $n = - 2$ C、 $m = 3$ ， $n = 0$ D、 $m = 3$ ， $n = 2$

查看试题解析
10. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 10 = 0$ 通过配方转化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，下列结果中正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 8)}^{2} = 6$ C、 ${(x - 4)}^{2} = - 6$ D、 ${(x - 8)}^{2} = 54$

查看试题解析

二、填空题

11. 如果方程x²＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）²-3＝0，那么（n-m）²⁰²⁰＝．

查看试题解析
12. 将 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 配方成 $(x + m)^{2} = n$ 的形式，则 $n =$ ．

查看试题解析
13. 下面是用配方法解关于x的一元二次方程 $3 x^{2} + x - 2 = 0$ 的具体过程，
$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$
解：第一步： $x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} = 0$
第二步： $x^{2} + \frac{2}{3} x = \frac{1}{3}$
第三步： $x^{2} + \frac{2}{3} x + {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}$
第四步： ${(x + \frac{1}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ $∴ x + \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{3}$ $∴ x_{1} = \frac{1}{3}$ ， $x_{2} = - 1$
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是．

查看试题解析
14. 方程x²+2x–2=0配方得到（x+m）²=3，则m= ．

查看试题解析
15. 将 $x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 改写成 ${(x + p)}^{2} = q$ 的形式为．

查看试题解析

三、解答题

16. 用配方法解一元二次方程： $x^{2} + x - 1 = 0$ .

查看试题解析
17. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x})$ ÷ $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - x}$ ，其中x是方程x²+4x+1＝0的根．

查看试题解析
18. 若 $a$ 为方程 ${(x - \sqrt{13})}^{2} = 16$ 的一个正根， $b$ 为方程 $y^{2} - 2 y + 1 = 13$ 的一个负根，求a+b的值．

查看试题解析
19. 我们知道：若 $x^{2} = 9$ ，则x=3或x=-3.因此，小南在解方程 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 时，采用了以下的方法：解：移项得 $x^{2} + 2 x = 8$ 两边都加上1，得 $x^{2} + 2 x + 1 = 8 + 1$ ，所以 ${(x + 1)}^{2} = 9$ ；则 $x + 1 = 3$ 或 $x + 1 = - 3$ 所以 $x = 2$ 或 $x = - 4$ .小南的这种解方程方法，在数学上称之为配方法.请用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$

查看试题解析

四、综合题

20.

(1)、如图，

△ A B C

绕点

A

逆时针旋转某个角度得到

△ A D E

（点

B

的对应点为点

D

，点

C

的对应点为点

E

）．已知

∠ D A C = 89 °

，

∠ B A E = 61 °

，求

∠ B A D

的度数．

(2)、下面是某同学解方程

x^{2} + 6 x - 16 = 0

的部分运算过程：

解：移项，得 $x^{2} + 6 x = 16$ ， …………………第一步

配方，得 $x^{2} + 6 x + 9 = 16 + 9$ ， ………………第二步

即 ${(x + 3)}^{2} = 25$ ， ………………………………第三步

两边开平方，得 $x + 3 = 5$ ， ……………………第四步

…

①该同学的解答从第 ▲ 步开始出错；

②请写出正确的解答过程．

查看试题解析

21. 嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的求根公式时，对于 $b^{2} - 4 a c > 0$ 的情况，她是这样做的：
由于 $a \neq 0$ ，方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 变形为：
$x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ ， ……第一步
$x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ， ……第二步
${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ， ……第三步
$x + \frac{b}{2 a} = \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ ， ……第四步
$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ． ……第五步

(1)、嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当 $b^{2} - 4 a c > 0$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的求根公式是；

(2)、用配方法解方程： $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ ．

查看试题解析
22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．

(1)、求∠DCE的度数．

(2)、设BC=a，AC=b．
①线段BE的长是关于x的方程 $x^{2} + 2 b x - a^{2} = 0$ 的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求 $\frac{a}{b}$ 的值．

查看试题解析
23. 小明遇到下面的问题：求代数式 $x^{2} - 2 x - 3$ 的最小值并写出取到最小值时的x值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：
$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = {(x - 1)}^{2} - 4$ ，所以，当x=1 时，代数式有最小值是-4.

(1)、请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题.
① $x^{2} - 6 x$ 的最小值是；②求 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 2 y + 9$ 的最小值．

(2)、小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：
问题：当x为实数时，求 $x^{4} + 2 x^{2} + 6$ 的最小值.
解： $x^{4} + 2 x^{2} + 6 = x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 5 = {(x^{2} + 1)}^{2} + 5$ ，∴原式有最小值是5.
请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由.
判断：，理由：．

查看试题解析

（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程 同步测试

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程同步测试