（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2023-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 将关于x的一元二次方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将x²表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q)$ ＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且x＞0，则 $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x$ 的值为（）

A、1﹣ $\sqrt{5}$ B、3﹣ $\sqrt{5}$ C、1+ $\sqrt{5}$ D、3+ $\sqrt{5}$

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2. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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3. 小明在解方程x²﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b²﹣4ac＝（﹣4）²﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴ $x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2}$ （第三步）
∴ $x_{1} = - 2 + \frac{\sqrt{24}}{2} ， x_{2} = - 2 - \frac{\sqrt{24}}{2}$ （第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（）

A、第一步 B、第二步 C、第三步 D、第四步

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的根是（）

A、 $\frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ B、 $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ C、 $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2}$ D、 $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

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5. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x²－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（）

A、5 B、3或5 C、13 D、11或13

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6. 请你判断， $x | x | - 3 | x | + 2 = 0$ 的实根的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 点B把线段AC分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B} = \frac{A B}{A C}$ ＝k，那么k的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ ＋1 D、 $\sqrt{5}$ －1

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8. 已知 $α$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 较大的根，则下列对 $α$ 值估计正确的是（）

A、 $2 < α < 3$ B、 $1.5 < α < 2$ C、 $1 < α < 1.5$ D、 $0 < α < 1$

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9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a $<$ 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 $x^{2} + 2 a x - 4 = 0$ 的一个根（）

A、线段AE的长 B、线段BF的长 C、线段BD的长 D、线段DF的长

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10. 已知一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的较小根为x₁ ，则下面对x₁的估计正确的是

A、 $- {2<x}_{1} < - 1$ B、 $- {3<x}_{1} < - 2$ C、 ${2<x}_{1} < 3$ D、 $- {1<x}_{1} < 0$

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二、填空题

11. 若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝8，且AC＞BC，则AC＝（结果保留根号）．

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12. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ 的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．

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13. 已知代数式x²-3与代数式 $- x$ 的值互为相反数，那么x的值为．

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14. 方程x²﹣3x＝4的根是.

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15. 已知 $x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 c}}{2}$ （b²－4c≥0），则 x²＋bx＋c的值为.

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三、解答题

16. 用公式法解方程： $m^{2} - 3 m - 1 = 0$ ．

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17. 解方程：5x²+2x-1 =0.

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18. 先化简，再求值： $\frac{m + 2}{2 m^{2} - 6 m}$ ÷（m+3+ $\frac{5}{m - 3}$ ），其中m是方程x²﹣2x﹣1＝0的根．

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19. 已知a、b、c为实数，且 $\sqrt{a - 1} + | b + 1 | + {(c + 3)}^{2} = 0$ ，求方程ax²+bx+c=0的根.

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20. 定义运算： $m * n = m n^{2} - m n - 3$ ，例如： $4 * 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 3 = 5$ ．解方程： $1 * x = 0$ ．

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四、综合题

21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 2 m - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为正整数，求此时方程的根.

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22. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} + (2 m - 1) x + m - 4 = 0$ ．

(1)、当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)、当 $m = 2$ 时，用合适的方法求此时该方程的解．

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23. 已知关于x的一元二次方程x²﹣ax+a﹣1＝0．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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