河南省焦作市博爱县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2023-06-27 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

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2. 复数z满足 $\frac{z}{1 + 2 i} = 2 - 3 i$ (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是（）

A、 $8 + i$ B、 $8 - i$ C、 $- 4 + i$ D、 $- 4 - i$

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3. 已知向量 $a = (1 ， 2) ， b = (- 1 ， 1) ， c = (m ， 2)$ ，且 $(a - 2 b) ⊥ c$ ，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、任意实数

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4. 函数 $f (x) = \frac{| 3 - x^{2} |}{l n (x^{2} + 1)}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的 $\frac{4}{3}$ 倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（）

A、8 B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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6. 中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（）

A、60 B、66 C、72 D、80

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7. 已知 $a < 5$ 且 $a e^{5} = 5 e^{a} ， b < 4$ 且 $b e^{4} = 4 e^{b} ， c < 3$ 且 $c e^{3} = 3 e^{c}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ， $S_{△ A F_{1} F_{2}} = 2$ ，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（）

A、成绩在 $[70 ， 80)$ 内的考生人数最多 B、不及格的考生人数为1000 C、考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D、考生竞赛成绩的中位数为75分

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x + φ)$ （ $ω$ 为正整数， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期 $T \in (\frac{3 π}{4} ， \frac{3 π}{2})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在 $[0 ， π]$ 上有三个解 D、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减

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11. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点 $E (t ， 2)$ 到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（）

A、抛物线的方程是 $x^{2} = 2 y$ B、抛物线的准线方程是 $y = - 1$ C、 $s i n ∠ Q M N$ 的最小值是 $\frac{1}{2}$ D、线段AB的最小值是6

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12. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点都在球O的球面上， $A B_{1} = B C_{1} = C A_{1} = 4$ .若点O到三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有面的距离都相等，则（）

A、 $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ B、 $A B = A A_{1}$ C、平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 截球O所得截面圆的周长为 $4 π$ D、球O的表面积为 $24 π$

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三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 在 ${(\frac{1}{x} + 2 x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{5}$ 项的系数为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 为定义在R上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x + 2 e^{x}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线斜率为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 0$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 6 ， S_{3} = 14$ ，则数列 ${\frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}}$ 的前2021项和为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为4，离心率为 $\sqrt{2}$ ，直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则 $| O M |$ 的取值范围为.

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四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $S_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，证明： $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证 $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}} + \frac{1}{T_{3}} + ⋯ + \frac{1}{T_{n}} < 2$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1} = 2 ， S_{n + 1} - 3 a_{n} = S_{n} + 2 \times 3^{n} - 2$ .

(1)、记 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{3^{n - 1}}$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等差数列，并求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ，并求使不等式 $T_{n} < 2022$ 成立的最大正整数n.

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4， $△ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求A到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设D为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

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20. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ．

(1)、试问过点 $N (1 ， 1)$ 能否作一条直线与双曲线交于S，T两点，使N为线段ST的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；

(2)、直线 $l ： y = k x + m (k \neq \pm 2)$ 与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于 $A (x_{0} ， 0)$ ， $B (0 ， y_{0})$ 两点，当点M运动时，求点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 的轨迹方程．

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21. 已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且 $△ O A B$ 的重心G在曲线 $9 x^{2} - 6 y + 2 = 0$ 上.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、记曲线 $9 x^{2} - 6 y + 2 = 0$ 与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = (1 - x) l n x + 1$ ， $x \in [1 ， + ∞)$ ．

(1)、写出函数 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， + ∞)$ 的零点个数，并证明；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，函数 $g (x) = a e^{x} - x l n x$ 有零点，记 $a$ 的最大值为 $t$ ，证明： $\frac{2 l n 2}{e^{2}} < t < \frac{2}{e^{2}}$

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