安徽省江淮名校2022-2023学年高一下册5月阶段联考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列结论错误的是（）

A、圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B、长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C、用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 D、四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z - i = - | \frac{2 i}{1 + i} |$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点是（）

A、 $(1 ， - \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2} ， 1)$ C、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ D、 $(- 1 ， - \sqrt{2})$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， n)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、（ $(- 2 ， 1)$

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4. 如图是 $2016 - 2022$ 年全球LNG运输船订单和交付量统计图，则下列说法不正确的是（）

A、 $2016 - 2022$ 年全球LNG运输船订单量的平均值约为32艘 B、 $2017 - 2021$ 年全球LNG运输船订单的交付率逐年走低 C、 $2016 - 2022$ 年全球LNG运输船交付量的极差为27艘 D、2019年全球LNG运输船订单和交付量达到峰值

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 已知 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同的平面，且 $α \cap γ = m$ ， $β \cap γ = n$ ，则“ $m // n$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成 $12 °$ 角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成 $18 °$ 角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（）（ $s i n 12 ° \approx 0.21$ ， $s i n 18 ° \approx 0.31$ ）

A、10km B、20km C、30km D、40km

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8. 如图，已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为4，平面 $α$ 经过 $B C$ ，则平面 $α$ 截正四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球所得截面圆的面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} π$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、 $4 π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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二、多选题

9. 下列关于复数的说法正确的是（）

A、任意两个虚数都不能比较大小 B、在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数 C、已知 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ D、 $(- i)^{2} = 1$

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10. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）

A、 $a$ 的值为0.005； B、估计成绩低于60分的有25人 C、估计这组数据的众数为75 D、估计这组数据的第85百分位数为86

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11. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{a}{s i n A} = \frac{a + b + c}{s i n A + s i n B + s i n C}$ B、若 $△ A B C$ 为斜三角形，则 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$ C、若 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形

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12. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥 $A - B C D$ ．设CD＝2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点．下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使 $A B ⊥ C D$ B、存在某个位置，使 $A C ⊥ B D$ C、当三棱锥 $A - B C D$ 体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、当AB＝AD时，CM+FM的最小值为 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}$

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B E} = λ \vec{E C}$ ，且 $\vec{A E} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 为迎接2023年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从200名大学生志愿者中抽取30人组成大运会志愿小组.若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有人.

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15. 如图所示的 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是用斜二测画法画出的 $△ A O B$ 的直观图（图中虚线分别与 $x^{'}$ 轴， $y^{'}$ 轴平行），则 $△ A O B$ 的周长为．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $A D = 2 D C$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $B D$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 某果园试种了

A ， B

两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记

A ， B

两个品种各10棵产量的平均数分别为

\bar{x}

和

\bar{y}

，方差分别为

s_{1}^{2}

和

s_{2}^{2}

．

$A$ （单位： $k g$ ）	60	50	45	60	70	80	80	80	85	90
$B$ （单位： $k g$ ）	40	60	60	80	80	55	80	80	70	95

(1)、求

\bar{x}

，

\bar{y}

，

s_{1}^{2}

，

s_{2}^{2}

；

(2)、果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 B C$ ， $A D / / B C$ ， $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、设 $E$ 是棱 $P D$ 上一点，过 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ ，垂足为 $F$ ，若平面 $O F E / /$ 平面 $P A B$ ，求 $\frac{P E}{E D}$ 的值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (2 s i n θ ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 c o s θ)$ ，其中 $θ \in (0 ， π)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $θ$ ；

(2)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2 + s i n 2 θ}$ ，求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{c - a}{b} = \frac{s i n A + s i n B}{s i n A + s i n C}$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} < \sqrt{3} b c$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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21. 已知空间几何体 $A B C D E$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $△ C D E$ 是腰长为2的等腰三角形， $D E ⊥ C D$ ， $A C ⊥ B C$ ， $D E / / A C$ ， $A C = 2 D E$ ．

(1)、作出平面 $B C D$ 与平面 $A B E$ 的交线，并说明理由；

(2)、求点 $A$ 到平面 $B C E$ 的距离．

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22. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ C A D = \frac{π}{2}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $A B = 3$ ， $A D = 7$ ．

(1)、若 $B C = 2$ ，求 $B D$ ；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ A D B$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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