安徽省皖北县中联盟2022-2023学年高一下册5月联考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{a + i}{1 - i}$ 是纯虚数，则实数a的值是（）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

查看试题解析
2. 下列叙述正确的是（）

A、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B、两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D、棱台的侧棱延长后必交于一点

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (2 s i n θ ， - c o s 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， c o s θ)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $s i n θ + c o s θ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

查看试题解析
4. 如图所示， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图，其中 $O^{'} C^{'} = O^{'} A^{'} = 2 O^{'} B^{'}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、以上选项都不对

查看试题解析
5. 已知平面 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 两两垂直，直线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足： $a \subseteq α$ ， $b \subseteq β$ ， $c \subseteq γ$ ，则直线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 不可能满足以下哪种关系（）

A、两两垂直 B、两两平行 C、两两相交 D、两两异面

查看试题解析
6. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $z$ 的虚部与实部相等 C、 $| z | = 1$ D、存在复数 $z_{1}$ ，使 $z z_{1} < 0$

查看试题解析
7. 位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏东30°且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度（单位：海里/时）应为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、20 C、 $30 \sqrt{3}$ D、 $20 \sqrt{3}$

查看试题解析
8. 在边长为6的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，现将菱形 $A B C D$ 沿对角线BD折起，当 $A C = 3 \sqrt{6}$ 时，三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $24 π$ B、 $48 π$ C、 $60 π$ D、 $72 π$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、复数 $z = 3 i - 2 i^{2}$ 的虚部为 $- 2$ B、方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的复数根为 $2 \pm i$ C、若 $z = {(1 + i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 D、复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

查看试题解析
10. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{a}{s i n A} = \frac{a + b + c}{s i n A + s i n B + s i n C}$ B、若 $△ A B C$ 为斜三角形，则 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$ C、若 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形

查看试题解析
11. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ， E，F分别为 $C C_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点，则下列结论错误的是（）

A、 $B_{1} E ⊥$ 平面BEF B、直线 $B_{1} E$ 与直线BF所成的角为 $9 0^{∘}$ C、平面BEF与平面ABCD的夹角为 $4 5^{∘}$ D、直线 $D_{1} F$ 与平面ABCD所成的角为 $4 5^{∘}$

查看试题解析
12. 已知正 $△ A B C$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，中心为O，P是 $△ A B C$ 的内切圆上一点，则（）

A、 $(\vec{P A} + \vec{P B}) ⊥ (\vec{P C} + \vec{P O})$ B、满足 $| \vec{P A} + \vec{P B} | = 4$ 的点 $P$ 只有1个 C、 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C} \geq 0$ D、满足 $(\vec{P A} + \vec{P B}) / / \vec{O A}$ 的点 $P$ 有2个

查看试题解析

三、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $1 + z i = z - i$ ，则 $| z | =$ .

查看试题解析
14. 若单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $(2 \vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - 4 \vec{b})$ ，则实数k的值为.

查看试题解析
15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，则 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为.

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $A M$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，且交 $B C$ 于点 $M$ .若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $A M$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 3 i) z = 5 + 5 i$ .

(1)、求 $z - \bar{z}$ ；

(2)、求 ${(\frac{z}{2 \bar{z} - 3})}^{2023}$ .

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 a s i n (\frac{π}{2} - C) = 2 b + c$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求a的最小值.

查看试题解析
19. 如图所示，在 $▱ A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $B M = \frac{2}{3} B C$ ， $A N = \frac{1}{3} A B$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 来表示 $\vec{D N}$ ， $\vec{A M}$ ；

(2)、若 $\vec{A O} = \frac{3}{8} \vec{O M}$ ，求证：D，O，N三点共线.

查看试题解析
20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， D，E分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， AC的中点．

(1)、判断多面体 $A B E D B_{1} C_{1}$ 是否为棱柱并说明理由；

(2)、求多面体 $A B E D B_{1} C_{1}$ 的体积；

(3)、求证：平面 $B C_{1} E / /$ 平面AB₁D．

查看试题解析
21. 已知空间几何体 $A B C D E$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $△ A B C$ 是腰长为2的等腰直角三角形，四边形 $A C D E$ 是正方形.

(1)、设平面 $A B E ∩$ 平面 $B C D = l$ ，求证： $A E / / l$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A B C$ 的体积.

查看试题解析
22. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = 8$ ， $A C = 7 \sqrt{2}$ ， $∠ A D B = \frac{π}{4}$ .

(1)、若 $∠ B C A = ∠ A D B$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ B C A = ∠ A B D$ ，求BD的长.

查看试题解析