广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二下册5月衡水联考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x > 0}$ ， $B = {x ∣ y = l n (x^{2} - 1)}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 若 $z = \frac{| 8 - 6 i |}{2 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其离心率为 $e = 2$ ，上顶点坐标为( $0$ ， $1$ )，那么该双曲线的方程可以为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{3 x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$

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4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将1到2024这2024个数中被3除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} - a_{10} =$ （）

A、2130 B、2734 C、2820 D、3019

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5. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $l$ ， $m$ 是两条不同的直线，下列结论：
①若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ ；

②若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ∥ α$ ；

③若 $l ∥ β$ ， $l ⊂ α$ ，则 $β ∥ α$ ；

④若 $α ∩ β = l$ ， $m ∥ l$ ，则 $m$ 至少与 $α$ ， $β$ 中一个平行

则下列说法正确的是（）

A、①② B、①③ C、①④ D、②③

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6. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{12})$ ，则 $ω$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{π}{2}$ C、3 D、 $\frac{π}{4}$

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7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱与梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱至少各1人，且甲、乙两人安排在同一个舱内的分配方案有（）

A、6种 B、12种 C、18种 D、24种

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 2 a x ， x > 1 \\ x^{2} - (a + 3) x + a + 2 ， x \leq 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， e]$ B、 $(- \infty ， \frac{e}{2}]$ C、 $[- 1 ， \frac{e}{2}]$ D、 $(- \infty ， 2]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件 B、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件， $p$ 是 $r$ 的充要条件，则 $q$ 是 $r$ 的充分不必要条件 C、方程 $a x^{2} + x + a = 0$ 有唯一解的充要条件是 $a = \pm \frac{1}{2}$ D、 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $⟨ x ⟩$ 表示不小于 $x$ 的最小整数，则“ $[a] = ⟨ b ⟩$ ”是“ $a \geq b$ ”的充要条件

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10. 棱长为2的正方体的展开图如图所示．关于该正方体，下列说法正确的是（）

A、 $B D / / F N$ B、 $A C ⊥$ 平面 $B D N F$ C、平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B M N$ D、动点 $P$ 在正方体的表面上运动， $H$ 为 $B F$ 中点，且 $A M ⊥ H P$ ，则点 $P$ 的运动轨迹围成的面积为 $\sqrt{3}$

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11. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、当 $f (x) = 3 x - 2$ 时， $a_{n} = 1$ B、当 $f (x) = 2 x + 3$ 时， $a_{n} = 2^{n + 1} - 3$ C、当 $f (x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x}} (x > 0)$ 时，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{3}{2} < S_{2023} < 3$ D、当方程 $f (x) = x$ 有唯一解时，存在正实数 $M$ ，使得 $| a_{n + 1} - a_{n} | < M$ 恒成立

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $O$ 为坐标原点， $F$ 为焦点，其准线过点 $A (- 1 ， 0)$ ，过点 $B (0 ， 1)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ 与 $C$ 交于另一点 $M$ ，直线 $A Q$ 与 $C$ 交于另一点 $N$ ，则（）

A、抛物线 $C$ 上一点 $G$ 到焦点 $F$ 的距离为3，则点 $G$ 到原点的距离为 $2 \sqrt{3}$ B、 $\vec{O P} \cdot \vec{O M} = 5$ C、直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{3}{2}$ D、若 $H$ 为抛物线 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的一点， $| A H | = t | H F |$ ，则当 $t$ 取最大值时， $△ A F H$ 的面积为2

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三、填空题

13. ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x})}^{n}$ 的展开式的各个二项式系数之和为512，则展开式中含有 $x^{3}$ 的系数为．

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14. 探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度 $h$ （单位： $m$ ）的变化规律是 $p = p_{0} e^{- k h} (k = 0.000126)$ ，其中 $p_{0}$ 是海平面大气压强.若探空气球在 $A$ ， $B$ 两处测得的大气压强分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ，且 $p_{1} = 4 p_{2}$ ，那么 $A$ ， $B$ 两处的海拔高度的差约为 $m$ .（参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ）

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15. 如图，等腰直角三角形 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 是边 $A B$ 上的动点（不与 $A$ ， $B$ 重合）过 $E$ 作 $A C$ 的平行线交 $B C$ 于点 $F$ ，将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 折起，点 $B$ 折起后的位置记为点 $M$ ，得到四棱锥 $M - A C F E$ ，则三棱锥 $M - D E F$ 体积的最大值为．

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四、双空题

16. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 满足 $\vec{D C} = 2 \vec{A D}$ ，若线段 $B D$ 上的一点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ （ $x > 0$ ， $y > 0$ ），则 $x + 3 y =$ ， $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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五、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，对于 $n \in N^{*}$ ，都满足 $S_{n - 1} S_{n} - S_{n - 1} + S_{n} = 0 (n \geq 2)$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n + 2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{s i n A - s i n B + s i n C}{s i n C} = \frac{b}{a + b - c}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，求 $△ A B C$ 的周长的最大值．

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19. 动点 $P$ 与两定点 $A_{1} (0 ， - \sqrt{2})$ ， $A_{2} (0 ， \sqrt{2})$ 的连线的斜率之积为 $- 2$ ，动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F (0 ， 1)$ 的直线与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $y = \frac{12}{5}$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $O$ 为坐标原点，求四边形 $O A C B$ 的面积 $S$ 的最大值．

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20. 某大学为调研学生在

A

，

B

两家餐厅用餐的满意度，从在

A

，

B

两家餐厅都用过餐的学生中各随机抽取了200人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将分数分成6组：

[0 ， 10)

，

[10 ， 20)

，

[20 ， 30)

，

[30 ， 40)

，

[40 ， 50)

，

[50 ， 60)

，得到

A

餐厅分数的频率分布直方图和

B

餐厅分数的频数分布表：

$B$ 餐厅分数的频数分布表：

分数区间	频数
$[0 ， 10)$	4
$[10 ， 20)$	6
$[20 ， 30)$	10
$[30 ， 40)$	30
$[40 ， 50)$	80
$[50 ， 60)$	70

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：

分数	$[0 ， 30)$	$[30 ， 50)$	$[50 ， 60)$
满意度指数	3	4	5

(1)、在抽样的200人中，求对

A

餐厅评价“满意度指数”为4的人数；

(2)、从该校在

A

，

B

两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对

A

餐厅评价的“满意度指数”比对

B

餐厅评价的“满意度指数”低的概率；

(3)、如果从

A

，

B

两家餐厅中选择一家用餐，从期望的角度你会选择哪一家？并说明理由．

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21. 如图，斜四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A_{1}$ 在平面 $A B C D$ 内的投影 $O$ 落在 $A C$ 上，且 $A B = 2 A D = 2 B C = 2 C D = 2 A A_{1} = 4 A_{1} O = 2$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{D_{1} M} = λ \vec{D_{1} B_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ，且平面 $M B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求直线 $A_{1} M$ 与平面 $M B C$ 所成角的正弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + (4 - a) x - a l n x (a \in R)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 3$ 时，证明：对任意的 $x > 0$ ，都有 $f (x) + e^{x} > 2 x^{2} + x + 2$ .

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