广东省茂名市2022-2023学年高三下册5月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $P = {x \in N ∣ - 3 < x \leq 2}$ ， $Q = {x \in Z ∣ x^{2} \leq 9}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 ${- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$

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2. 已知 $\frac{3 - i}{z} = 1 - 2 i$ ，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（）

A、12 B、13 C、13.5 D、14

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a^{2} - b^{2} = 3 \sqrt{2} b c$ ， $s i n C = 2 \sqrt{2} s i n B$ ，则A＝（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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5. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为6，侧棱长为8，D是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

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6. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\vec{e_{1}} + \sqrt{3} \vec{e_{2}}$ 与 $λ \vec{e_{1}} - \sqrt{3} \vec{e_{2}}$ 的夹角为120°，则 $λ =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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7. 2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为 $6 \sqrt{3} c m$ ，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ ， $E_{1}$ ， $F_{1}$ 为圆O上的点，如图（2）所示． $△ A_{1} A B$ ， $△ B_{1} B C$ ， $△ C_{1} C D$ ， $△ D_{1} D E$ ， $△ E_{1} E F$ ， $△ F_{1} F A$ 分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起 $△ A_{1} A B$ ， $△ B_{1} B C$ ， $△ C_{1} C D$ ， $△ D_{1} D E$ ， $△ E_{1} E F$ ， $△ F_{1} F A$ ，使 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ ， $E_{1}$ ， $F_{1}$ 重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF的边长为（）

A、 $\frac{12}{5} c m$ B、 $\frac{25}{4} c m$ C、 $\frac{24}{5} c m$ D、5cm

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8. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的单调递增的函数， $\forall n \in N$ ， $f (n) \in N$ ，且 $f (f (n)) = 3 n$ ，则 $f (28) =$ （）

A、54 B、55 C、56 D、57

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二、多选题

9. 已知圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ，直线 $l ： x + m y + 2 m - 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线l过定点 $(- 2 ， 3)$ B、当 $m = \frac{12}{5}$ 时，直线l与圆C相切 C、当 $m = - 1$ 时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则 $| P Q ｜$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ D、若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则 $m = - \frac{12}{5}$

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10. 袋子中装有红球、黄球各 $n (n \geq 3)$ 个，现从中随机抽取3个，记事件A为“三个球都是红球”，事件B为“三个球都是黄球”，事件C为“三个球至少有一个是黄球”，事件D为“三个球不都是红球”，则（）

A、事件A与事件B互斥且对立 B、 $P (A) = P (\bar{C})$ C、 $P (A) + P (D) = 1$ D、事件B与事件D可能同时发生

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11. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x + 1)$ 为偶函数， $f (2 x - 1)$ 的图象关于点 $(\frac{3}{2} ， 1)$ 成中心对称，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2023) = 2$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $［ 0 ， 2 ］$ C、直线y＝1与函数 $f (x)$ 的图象在区间 $［ 0 ， 8 ］$ 上有4个交点 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (19) = 19$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与C交于P，Q两点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）

A、若 $| \vec{P F_{1}} + {\vec{P F}}_{2} | = | {\vec{P F}}_{1} - {\vec{P F}}_{2} |$ ，且 $\vec{P F_{2}} = 2 \vec{F_{2} Q}$ ，则椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、若 $| O P | = \frac{1}{2} | F_{1} F_{2} |$ ，且 $\frac{| P F_{1} |}{| P Q |} = \frac{8}{15}$ ，则C的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、若对任意的直线l总有 $| P Q | \geq | F_{1} F_{2} ｜$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为 $[\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ， 1)$ D、若存在直线l，使得 $| P F_{1} |$ ， $| P F_{2} |$ 的等比中项为 $| F_{1} F_{2} |$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{1}{2}]$

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三、填空题

13. 若 $t a n (α - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{7}$ ，则 $t a n α =$ ．

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14. 若 $(a - x) (x - 2)^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为80，则a＝．

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，直线 $l ： x = m y + t$ 与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点，记直线OM，ON的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - 2$ ，则t＝．

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四、双空题

16. 已知在边长为2的菱形ABCD中， $∠ B A D ＝ 60 °$ ，沿对角线BD将 $△ A B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为；若P为AB的中点，过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，则S的最小值为．

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五、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n x (a c o s x + s i n x) - s i n^{2} (\frac{3 π}{2} - x)$ 的图像的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求a；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的值域．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} = 3 a_{n} - a_{1}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 6$ ， $a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求使得 $| T_{n} - \frac{1}{2} | < \frac{1}{2000}$ 成立的x的最小值

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ A D C = ∠ P A B = ∠ P A D = 90 °$ ， $P A = A D = 2 B C = 2 C D$ ， $E$ 为棱 $A D$ 的中点．

(1)、在直线 $P D$ 上找一点 $F$ ，使得直线 $C F / /$ 平面 $P A B$ ，并说明理由；

(2)、求二面角 $B - P E - C$ 的余弦值．

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20. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日继续在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠．某机构为了了解游客对全省实施景区门票减免活动的满意度，从游客中按年龄40周岁及以下和40周岁以上随机抽取100人，其中年龄在40周岁及以下的有40人，且有

75 %

的游客表示满意，年龄在40周岁以上的游客中表示满意的人数与年龄在40周岁及以下的游客中表示满意的人数相同．

(1)、根据统计数据完成以下2×2列联表，并根据小概率值

α = 0.05

的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？

	不满意	满意	总计
40周岁及以下
40周岁以上
总计

(2)、按照年龄和满意与否采用分层抽样从这100名游客中随机抽取10名，进一步了解游客对本次活动的看法，再从这10名游客中随机选取3名作为代表对本次活动提出改进措施，记选取的3名代表中“40周岁及以下表示满意”与“40周岁以上表示满意”的人数差的绝对值为

X

，求随机变量

X

的分布列和数学期望．

参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

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21. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且焦距为6，点 $(2 \sqrt{2} ， 1)$ 在双曲线C上．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知M是直线 $x = \frac{a^{2}}{3}$ 上一点，直线 $M F_{2}$ 交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ ， $g (x) = x l n x - x^{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) < g (x)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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