广西三新学术联盟2022-2023学年高一下册5月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z = (3 - 2 i) (1 + i)$ ， i为虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $5 - i$ B、 $5 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（）

A、45 B、50 C、55 D、60

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4)$ ，若向量 $\vec{a} - m \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{13}{18}$ B、 $- \frac{13}{18}$ C、 $\frac{13}{9}$ D、 $- \frac{13}{9}$

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4. 已知 $l$ ， $m$ ， $n$ 是三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m ∥ α$ ． B、若 $α ∩ β = l$ ， $β ∩ γ = m$ ， $γ ∩ α = n$ ， $l ∥ m$ ，则 $m ∥ n$ ． C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊂ α$ ， $m \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ ． D、 $l ⊂ α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ ．

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5. 下列说法正确的是（）

A、改变样本数据中的一个数据，平均数和中位数都会发生改变 B、若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 C、平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量 D、样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小，数据的波动越大

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6. 若复数 $z$ 满足 $| z - 2 - 5 i | = 2$ ，则 $| z + 1 - i |$ 的最大值为（）

A、 $5 + \sqrt{2}$ B、 $5 + 2 \sqrt{2}$ C、7 D、 $\sqrt{41}$

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7. 已知点 $D$ 是 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上靠近点 $A$ 的三等分点，点 $E$ 是线段 $B D$ 上一点（不包括端点），若 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{3 y}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆圆心，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且有 $b + c = 2 a$ ，若 $\frac{\vec{A C}}{c o s C} - \frac{\vec{A B}}{c o s B} = λ \vec{B O}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $M$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点（不包含两个端点），则下列命题中错误的是（）

A、存在点 $M$ ，使得 $A_{1} D ∥$ 平面 $M O B$ B、存在点 $M$ ，使得 $A_{1} D ⊥$ 平面 $M O B$ C、存在点 $M$ ，使得 $M O ⊥ B O$ D、存在点 $M$ ，使得 $A_{1} D$ 与 $B M$ 所成角为 $\frac{π}{3}$

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10. 在等腰直角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $B = \frac{π}{2}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 边上一个动点，则下列说法中正确的是（）

A、若 $D$ 是 $A C$ 三等分点，则 $B D = \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、若 $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，则 $A D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ C、对任意的 $m \in R$ ， $| \vec{A B} + m \vec{A C} | \geq 1$ D、对任意的 $m \in R$ ， $| m \vec{A B} + \vec{A C} | \geq 1$

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11. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）
甲地：总体平均数为2，且标准差 $s \leq 2$ ；乙地：中位数为2，极差为 $c = 3$ ；

丙地：总体平均数 $\bar{x} \leq 3$ ，且极差 $c \leq 3$ ；丁地：众数为1，且极差 $c \leq 4$ ．

A、甲地 B、乙地 C、丙地 D、丁地

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12. 下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{c}{b} = c o s A$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 B、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b^{2} + c^{2} < a^{2}$ ，则 $△ A B C$ 不一定为钝角三角形 C、同一个正方体的外接球与内切球的表面积之比为 $3 ： 1$ D、若 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (4 ， 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $(\frac{8}{5} ， \frac{6}{5})$

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三、填空题

13. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 和 $N$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}$ 和棱 $A A_{1}$ 的中点，则异面直线 $A C$ 与 $M N$ 所成角的大小是．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{c o s C}{c} - \frac{c o s B}{b} = \frac{a}{b c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（填“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”、“无法确定”中的一个）

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15. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $O$ 为对角线的交点，动点 $M$ 在线段 $A D$ 上，点 $M$ 关于点 $O$ 的对称点为点 $N$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最大值为．

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16. 在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线 $A A_{1}$ 与直线 $B B_{1}$ 的交点为 $P$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的体积为．

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四、解答题

17. 射击比赛是群众喜闻乐见的运动形式之一，甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6次得到的环数如下表所示：
甲
9
10
6
9
6
8
乙
5
10
10
7
10
6

(1)、分别求出甲、乙运动员6次射击打出的环数的平均数；

(2)、分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的发挥更稳定．

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18. 如图，已知三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ S A B$ 是边长为2的等边三角形，且 $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若 $S C = 2 \sqrt{2}$ ，求点 $A$ 到平面 $S B C$ 的距离．

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19. 某果园新采摘了一批雪梨，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照 $[120 ， 140)$ ， $[140 ， 160)$ ， $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200]$ 进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)、计算频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计这批雪梨的重量的第70百分位数；

(2)、该果园准备将这批雪梨分拣成两类销售给一家超市，每分拣1000个雪梨，果园需要支付4元分拣费，重量不小于180克的雪梨的销售价格为3元/千克，重量小于180克的雪梨的销售价格为2元/千克．根据样本估计总体，估算果园销售10000个雪梨的收入．

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20. $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c s i n B + c c o s B = a + \sqrt{2} b$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、如图，点 $D$ 是 $B C$ 延长线上的一点，满足 $∠ A D B = ∠ C A B$ ，且 $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $B C = 1$ ，求 $C D$ 的长以及 $△ A B D$ 的面积．

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21. $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $3 \vec{A B} \cdot \vec{A C} + 4 \vec{C A} \cdot \vec{C B} = \vec{B A} \cdot \vec{B C}$

(1)、求 $\frac{c}{b}$ ；

(2)、若 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $| \vec{A D} | = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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22. 四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $E C = C D = 6$ ，平面 $E C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E C ⊥ C D$ ，

(1)、如图所示，若点 $G$ 、 $R$ 分别在线段 $D C$ 和 $A B$ 上，且满足 $D G = A R$ ， $F$ 为线段 $E C$ 的中点，求证： $E R$ $∥$ 面 $B G F$ ；

(2)、如图所示， $P$ ， $Q$ 是线段 $A E$ 上的两个动点，当二面角 $P - B C - Q$ 的平面角大小等于45°时，求 $\frac{P Q}{A E}$ 的最小值．

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甲	9	10	6	9	6	8
乙	5	10	10	7	10	6