浙江省强基联盟2022-2023学年高一下学期5月统测数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = R ， A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 1} ， B = {x \in N ∣ x - 3 \leq 0}$ ，则图中阴影部分对应的集合是（）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 ${- 1 ， 3}$ C、 $[2 ， 3]$ D、 ${2 ， 3}$

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2. 已知 $\frac{i}{z} = 1 + i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $\frac{- 1 + i}{2}$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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3. 下列说法错误的是（）

A、一个八棱柱有10个面 B、任意四面体都可以割成4个棱锥 C、棱台侧棱的延长线必相交于一点 D、矩形旋转一周一定形成一个圆柱

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4. 设 $M$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线的交点，则 $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 3 \vec{M C} + 2 \vec{M D} =$ （）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{C D}$ D、 $5 \vec{A B}$

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5. 若 ${a \in R ∣ \forall x \in R ， x^{2} + a x + \frac{a}{4} + \frac{1}{2} > 0} = {x \in R ∣ x^{2} - x + c < 0 ， c \in R}$ ，则 $c =$ （）

A、－1 B、1 C、－2 D、2

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6. 若 $a = s i n 5 ， b = l o g_{3} 2 ， c = l n 2 ， d = e^{0.001}$ ，则（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $a < c < b < d$ C、 $b < c < d < a$ D、 $a < d < b < c$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n 2 ω x (ω > 0)$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12 ω}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $g (x) = \sqrt{3}$ 在 $[0 ， \frac{7 π}{12}]$ 上有且仅有三个不相等的实根，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{7} ， \frac{13}{7}]$ B、 $[\frac{13}{7} ， \frac{15}{7})$ C、 $[\frac{15}{7} ， \frac{17}{7})$ D、 $[\frac{12}{7} ， \frac{16}{7})$

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8. 如图所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $3 0^{∘}$ ，且 $| A D | \cdot | B C | = 2$ ．在线段 $A B$ 上分别取靠近点 $A$ 的 $n + 1 (n \in N^{*})$ 等分点，记为 $M_{1}$ ， $M_{2} ， ⋯ ， M_{n}$ ．过 $M_{k} (k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ 作平行于 $A D ， B C$ 的平面，与三棱锥 $A - B C D$ 的截面记为 $α_{k} (k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，其面积为 $f_{n} (k)$ ，则以下说法错误的是（）

A、截面 $α_{1} ， α_{2} ， ⋯ ， α_{n}$ 都为平行四边形 B、 $f_{3} (1) = \frac{3}{16}$ C、 $f_{n} (k) < f_{n} (k + 1)$ D、 $(n + 1) f_{n} (n) < (n + 2) f_{n + 1} (n + 1)$

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二、多选题

9. 已知 $i$ 是虚数单位，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ B、若复数 $z$ 满足 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$ C、若 $x^{2} - 1 + (x^{2} + 3 x + 2) i$ 是纯虚数，则实数 $x = \pm 1$ D、若 $| z | = 1$ ，则 $| z - (1 + i) |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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10. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， c o s C = \frac{b}{2 a} - \frac{1}{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $b > a$ B、 $\frac{c}{a} \in (1 ， 2)$ C、 $C = 2 A$ D、 $t a n C > \sqrt{3}$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D = D E = E C ， \vec{A B} \cdot \vec{A D} = 2 \vec{A C} \cdot \vec{A E}$ ，则 $c o s ∠ A D E$ 的可能值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 上运动，且 $A P ⊥ A_{1} M$ ，已知正方体的棱长为2，则（）

A、 $A P$ $/ /$ 平面 $A_{1} D_{1} M$ B、 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{5}$ C、 $P M$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{145}}{5}$ D、当 $P$ 在棱 $A_{1} B_{1}$ 上时，经过 $A ， P ， M$ 三点的正方体的截面周长为 $\frac{25 + 2 \sqrt{13} + 9 \sqrt{5}}{6}$

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三、填空题

13. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， A B ⊥ B C ， P A = B C = 1 ， A B = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为．

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14. 已知 $s i n (\frac{π}{9} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{5 π}{18}) =$ ．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (4 - n ， m) ， m > 0 ， n > 0$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\frac{n}{m} + \frac{8}{n}$ 的最小值为．

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16. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 3)$ ．

(1)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $x$ 的取值范围．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，在以下条件中选择一个条件：① $a + c = 2 b s i n (C + \frac{π}{6})$ ；② $(b + c) (s i n B - s i n C) = (a - c) s i n A$ ；③ $(2 a - c) c o s B = b c o s C$ ．求解以下问题．（选择多个条件的，以所选的第一个计分）

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 4 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 6$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆半径．

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19. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，底面是边长为2的正三角形， $A D ⊥$ 底面 $B C D ， A D = 4 ， M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点， $Q ， R$ 分别在线段 $A C$ 和 $A B$ 上，且 $A Q = 3 Q C ， A R = 3 R B$ ．

(1)、证明：平面 $P Q R$ $∥$ 平面 $B C D$ ．

(2)、求直线 $P C$ 与底面 $B C D$ 所成角的大小．

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20. 杭州市为迎接2023年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的四边形 $A B C D$ ．运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容车处获得帮助，如修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点处进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出 $A C ， B D$ 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度）， $D C ， C B ， B A ， A D$ 为赛道， $∠ A B C = \frac{2 π}{3} ， ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $∠ A C D = \frac{π}{3} ， ∠ A C B = θ ， D A = 9 k m$ ．

(1)、设 $C$ 点到赛道 $A D$ 的最短距离为 $h$ ，请用 $θ$ 表示 $h$ 的解析式；

(2)、应该如何设计，才能使折线段赛道 $A B C$ 最长（即 $A B + B C$ 最大），最长值为多少？

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21. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $E A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $E A D ⊥$ 平面 $A B C D ， A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘} ， A B = 2 ， F C ∥ E A ， E A = 3 ， F C = 1$ ．

(1)、证明： $F C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - E F - D$ 的平面角的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a s i n 2 x + (a - 1) (s i n x + c o s x) + 2 a - 8 ， x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [- \frac{π}{2} ， 0] ， | f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq a^{2} + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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