浙江省精诚联盟2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 3} ， B = {x ∣ \frac{5}{x + 1} \geq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 4]$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $[- 1 ， 4]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $\frac{z - 1}{z + 1} = i^{2023}$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、2 B、2023 C、 $\sqrt{2023}$ D、1

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3. 已知 $(1 - 2 x)^{n}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数是－160，则 $n$ 为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若 $e^{2 x} = 2.5$ ， $l g 2 = 0.3010$ ， $l g e = 0.4343$ ，估计 $x$ 的值约为（）

A、0.2481 B、0.3471 C、0.4582 D、0.7345

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5. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\vec{b}}{2}$ B、 $- \frac{\vec{b}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} \vec{b}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3} \vec{b}}{2}$

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6. 从 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9$ 中依次不放回地取2个数，事件 $A$ 为“第一次取到的是偶数”，事件 $B$ 为“第二次取到的是3的整数倍”，则 $P (B ∣ A)$ 等于（）

A、 $\frac{11}{32}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{11}{45}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知 $a = l n \frac{4}{3} ， b = e^{- l n 4} ， c = s i n \frac{1}{π + 1}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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8. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ， B C ， B D$ 两两垂直，且 $A B = B C = B D = 4$ ，半径为1的球 $O$ 在该三棱锥内部且与面 $A B C$ ､面 $A B D$ ､面 $B C D$ 均相切.若平面 $α$ 与球 $O$ 相切，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球被平面 $α$ 所截得的截面面积的最小值为（）

A、 $(8 + 2 \sqrt{3}) π$ B、 $(6 + 2 \sqrt{3}) π$ C、 $(8 - 2 \sqrt{3}) π$ D、 $(6 - 2 \sqrt{3}) π$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、“事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立”是“事件 $\bar{A}$ 与事件 $B$ 相互独立”的充要条件 B、样本空间 $Ω$ 中的事件 $A$ 与 $B$ ， “ $P (A) + P (B) = 1$ ”是“事件 $A$ 与事件 $B$ 对立”的必要条件 C、已知随机变量 $X \sim B (n ， \frac{1}{3})$ ，若 $D (3 X - 2) = 12$ ，则 $n = 4$ D、已知随机变量 $ξ ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，且函数 $f (x) = P (x < ξ < x + 4)$ 为偶函数，则 $E (ξ) = 2$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} (s i n 2 x + c o s 2 x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $[- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 是该函数的一个单调递增区间 B、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称 C、若 $| f (a) - f (b) | = 4$ ，则 $| a - b |$ 的最小值为 $π$ D、若 $ω > 0$ ，函数 $f (ω x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有且仅有三个零点，则 $ω \in [\frac{11}{4} ， \frac{15}{4})$

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11. 已知 $x > y > 0$ ，下列不等式一定成立的有（）

A、 $(x + y)^{2} < 2 (x^{2} + y^{2})$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{2}{\sqrt{x y}}$ C、 $202 5^{s i n^{2} x} + 202 5^{c o s^{2} x} \geq 90$ D、 $x + \frac{1}{x - y} + \frac{4}{x + y} \geq 3 \sqrt{2}$

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (2 x^{3} + 1)$ 的图象关于 $(0 ， 2)$ 对称， $f (4 - x) = f (x) + 4 (x - 2)$ ，则（）

A、 $f (x) + f (2 - x) = 4$ B、5是函数 $y = f (x) + 2 x - 4$ 的一个零点 C、 $f (2) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) s i n (\frac{k π}{2}) = 2024$ ，其中 $(k \in N_{+})$

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三、填空题

13. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中， $m ､ n ､ p$ 分别表示众数､平均数､中位数，则 $m ､ n ､ p$ 中最小值为.

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14. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = \sqrt{17} ， B C = 3 ， P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的最小值是.

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15. 某节目录制现场要求三位选手回答六道题，已知每位选手至少答一题，且不能连续答三题，每题限一人答题，则不同答题方案有种.

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16. 若对任意 $x > 0$ ，不等式 $(3 a x + a) e^{3 x} - x l n x + x l n a - x \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 12 ， B C = 5 ， A C = 13 ， A B$ 的中点为 $D$ ，把 $△ A B C$ 绕 $A C$ 旋转一周，得到一个旋转体.

(1)、求旋转体的体积；

(2)、设从 $D$ 点出发绕旋转体一周到达 $B$ 点的最近路程为 $S$ ，探究 $S$ 与 $6 \sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ 的大小，并证明你的结论.

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18. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：

ChatGPT应用的广泛性	服务业就业人数的		合计
ChatGPT应用的广泛性	减少	增加	合计
广泛应用	60	10	70
没广泛应用	40	20	60
合计	100	30	130

(1)、根据小概率值

α = 0.01

的独立性检验，是否有

99 %

的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？

(2)、现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有

X

人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求

X

的分布列和均值.

附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635

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19. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $c s i n A = \sqrt{3} a c o s C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、记 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，求 $\frac{8 S - a b + 2 b^{2}}{2 b c}$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{{(| x + b | + a)}^{2}}$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、求实数 $b$ 的值；

(2)、若对于任意的 $x \in [0 ， 2]$ ，均有 $f (x) \geq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + \frac{1}{4} ， g (x) = l n x + x$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、记函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，且 $h (x)$ 的最小值为 $\frac{3}{4} + l n \sqrt{2}$ .
（i）求实数 $a$ 的值；

（ii）若存在实数 $x_{1} ， x_{2} ， t$ 满足 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值.

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22. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C ， A B = A C = 2$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为矩形， $∠ A_{1} A B = \frac{2 π}{3}$ ，二面角 $A - B C - A_{1}$ 的正切值为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求侧棱 $A A_{1}$ 的长；

(2)、侧棱 $C C_{1}$ 上是否存在点 $D$ ，使得平面 $D A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ？若存在，判断 $D$ 点的位置并证明；若不存在，说明理由.

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