河南省2023年初中数学学业水平测试

试卷更新日期：2023-06-26 类型：中考模拟

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一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的。

1. $- \frac{3}{2}$ 的绝对值是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 2023全国“两会”政府工作报告中指出：我国粮食产量连年稳定在1.3万亿斤以上.其中数据“1.3万亿”用科学记数法可表示为（）

A、 $0.13 \times 1 0^{12}$ B、 $1.3 \times 1 0^{12}$ C、 $13 \times 1 0^{11}$ D、 $1.3 \times 1 0^{13}$

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3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $3 x y - x y = 2$ B、 $(- 3 x)^{2} = 6 x^{2}$ C、 $2 x^{6} \div x^{2} = 2 x^{3}$ D、 $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点 $D$ ，连接AD.若 $∠ B = 3 5^{°} ， ∠ C = 6 0^{°}$ ，则 $∠ D A C$ 的度数为（）

A、50° B、40° C、35° D、30°

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6. 把不等式组 ${\begin{array}{l} x + 5 > 2 ， \\ 1 - 3 x ⩾ x - 7 \end{array}$ 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (a + 2) x + \frac{1}{4} a^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的值可以是（）

A、-3 B、-2 C、0 D、-1

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8. 近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有5张卡片正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点 $O$ 在原点上，OA边在 $x$ 轴的正半轴上， $A B ⊥ x$ 轴， $A B = C B = 2 ， O A = O C ， ∠ A O C = 6 0^{°}$ ，将四边形OABC绕点 $O$ 送时针旋转，每次旋转 $9 0^{°}$ ，则第2023次旋转结束时，点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， \sqrt{3})$ B、 $(3 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ D、 $(1 ， - \sqrt{3})$

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10. 如图1，在矩形ABCD中，动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A \to D \to C$ 方向运动到点 $C$ 停止，动点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿 $C \to A$ 方向运动到点 $A$ 停止，若点P，Q同时出发，点 $P$ 的速度为 $2 c m / s$ ，点 $Q$ 的速度为 $1 c m / s$ ，设运动时间为 $x s ， A P - C Q = y c m ， y$ 与 $x$ 的函数关系图象如图2所示，则AC的长为（）

A、8 B、9 C、10 D、14

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二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 某种试剂的说明书上标明保存温度是 $(10 \pm 2)^{°} C$ ，请你写出一个适合该试剂保存的温度：℃.

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12. 已知点 $M (m ， y_{1}) ， N (- 1 ， y_{2})$ 在直线 $y = - x + 1$ 上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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13. 某校计划从小颖、小亮、小东、小朋四名学生中选拔一人参加全市知识竞赛，下表是他们最近3次选拔测试的平均成绩及方差：

	小颖	小亮	小东	小明
平均成绩/分	97	96	95	97
方差	0.35	0.42	0.36	0.15

学校决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的学生应是.

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14. 如图，在扇形 $O B A$ 中， $∠ A O B = 9 0^{°} ， C ， D$ 分别是OA，OB的中点，连接AD和BC交于点 $E$ ，若 $O A = 2$ ，则图中阴影部分的面积为.

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15. 如图，正方形ABCD的边长为5，E是边AD上的一动点，将正方形沿CE翻折，点 $D$ 的对应点为 $D^{^{'}}$ ，过点 $D^{^{'}}$ 作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M，N（点M在点 $N$ 上方），若 $2 A M = C N$ ，则DE的长为.

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.

(1)、计算： $\sqrt[3]{- 27} + (π - 2023)^{°} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

(2)、化简： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (\frac{x}{1 - x} + 1)$

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17. 互联网已成为当代未成年人重要的学习、社交、娱乐工具，对其成长产生深刻影响.2022年11月30日，共青团中央维护青少年权益部、中国互联网络信息中心（CNNIC）、中国青少年新媒体协会联合发布了《2021年全国米成年人互联网使用情况研究报告》（注：此报告中未成年网民指6岁到18岁的在校学生中的网民）.根据报告中的数据，得到以下两幅统计图：

根据以上信息解答下列问题：

(1)、未成年网民假日收看短视频时长的中位数在范围内，未成年网民收看短视频的内容题材最多的是类。

(2)、若从全国6岁到18岁的在校生中随机抽取1000人，请分别估计其中工作日和节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数。

(3)、某班为举办“健康上网”的主题班会，从以上统计图中获取了一些信息，请你写出一条获得的信息，并就此提出一条合理的建议。

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18. 文昌阁位于河南省辉县市区，创建于明代，为八角形三层攒尖顶阁楼，砖木结构.文昌阁是河南省第五批文物保护单位，其建筑结构严谨，造型精巧，工艺精致，气势宏伟，体量高大，是明代木构阁楼建筑的精华，具有重要的历史、科学、艺术价值.某数学兴趣小组准备测量文昌阁阁身的高度，为此制订了测量方案，并利用周末完成了测量，测量结果如下表：

活动课题	测量文昌阁阁身的高度
活动目的	运用三角函数知识解决实际问题
活动工具	测角仪、皮尺等测量工具
示意图
测量步骤	如上图：①利用测角仪在台阶D处测得文昌阁顶点A的仰角为45°； ②利用测角仪在台阶C处测得的文昌阁顶点A的仰角为57°； ③利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为1.8m（即点B和点C，点C和点D的垂直距离均为1.8m），利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为6.6m（已知A、B、C、D、E均在同一平面内）

请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身AB的高度。（结果取整数.参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）

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19. 某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图2所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数.已知电源电压U为18V，定值电阻R₀为30Ω，电阻R为力敏电阻，其阻值R（Ω）与所受压力F（N）符合反比例函数关系.

(1)、请补全下面的表格，在图3中补全点，画出R（Ω）与F（N）的关系图象，并写出阻R（Ω）与压力F（N）的函数关系式.

F（N）	120	▲	60	50	▲	30
R（Ω）	5	6	I0	12	15	20

(2)、已知电路中电流

I (A)

与电阻、电源电压的关系式

I = \frac{U}{R + R_{0}}

，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值.若电流表的量程为

0 ~ 0.5 A

，则该台秤最大可称多重的物体？

(3)、已知力敏电阻受压力

F (N)

与所测物体的质量

m (k g)

的关系为

F = m g (g \approx 10 N / k g)

.若力敏电阻阻值的变化范围为

8 ⩽ R ⩽ 25

，则所测物体的质量

m (k g)

的变化范围是.

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20. 国家"双減"政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动，其中部分同学报名参加了中国象棋和围棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋.已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元.

(1)、求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元。

(2)、在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；

方案二：按购买总金额的八折付款.

若该校共需购买40副围棋和 $x (x ⩾ 10)$ 副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算.

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21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $A (- 1 ， 0) ， B$ ，点 $D (3 ， 4)$ 是拋物线上一点.

(1)、求抛物线的表达式及顶点 $M$ 的坐标.

(2)、当 $2 ⩽ x ⩽ 5$ 时，求二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差.

(3)、若点 $P$ 是 $x$ 轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为 $n$ ，过点 $P$ 作 $P Q / / y$ 轴，交直线AD于点 $Q$ ，当线段PQ的长随 $n$ 的增大而增大时，请直接写出 $n$ 的取值范围.

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22. 中国是世界上机械发展最早的国家之一.如图1是一辆明代的运输板车，该车沿用宋元制式和包繁式结构，车身选材厚重、纹理精美，低重心的物理结构兼顾了承重性和安全性.如图2是板车侧面的部分示意图，AB为车轮 $⊙ O$ 的直径，过圆心O的车架AC一端点 $C$ 着地时，地面CD与车轮 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ，连接AD，BD.

(1)、求证：∠ADC=∠DBC.

(2)、若测得 $s i n C = \frac{1}{5} ， C D = \sqrt{6} m$ ，求AD的长。

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23. 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：

如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α$ ，射线AD平分 $∠ B A C$ ，将射线AD绕点 $A$ 逆时针旋转 $α$ ，得到射线 $l$ ，在射线 $l$ 上取点 $E$ ，使得 $A E = A B$ ，连接BE分别交AD，AC于点M，N，连接CE.问： $∠ C B E ， ∠ M A N$ 之间的数量关系是什么？线段DM，CN之间的数量关系是什么？

【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：

甲同学：当 $α = 6 0^{°}$ 时，如图2，通过探究可以发现， $△ A M N ， △ A C E ， △ E C N$ 都是等腰三角形；

乙同学：可以证明 $△ A B M ≅ △ A E N$ ，得到 $B M = E N$ ；

丙同学：过点 $A$ 做 $A F ⊥ M N$ ，垂足为 $F$ ，如图3，则 $F M = F N$ ；

丁同学：可以证明 $△ B D M ∽ △ A F M ， △ E C N ~ △ A M N$ ，则 $\frac{B M}{A M} = \frac{D M}{F M} ，$ $\frac{E N}{A N} = \frac{C N}{M N}$ ， …

(1)、根据以上探究过程，得出结论：
① $∠ C B E ， ∠ M A N$ 之间的数量关系是；

②线段DM，CN之间的数量关系是.

(2)、【类比探究】
“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当 $∠ B A C = α$ 时，如图1，⑴中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由。

(3)、【迁移应用】
“创新”小组的同学们改变了条件，当 $α = 9 0^{°}$ 时，如图4，若射线AD是 $∠ B A C$ 的三等分角线， $A B = 2 \sqrt{3} + 2$ ，其他条件不变，请直接写出MN的长.

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