湖北省随州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1. 实数﹣2023的绝对值是（）

A、2023 B、﹣2023 C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线l与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 相交，若图中 $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3. 如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（）

A、主视图和俯视图 B、左视图和俯视图 C、主视图和左视图 D、三个视图均相同

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4. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（）

A、5和5 B、5和4 C、5和6 D、6和5

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5. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（）

A、 $\frac{9}{x} - \frac{12}{x + 1} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{12}{x + 1} - \frac{9}{x} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{9}{x + 1} - \frac{12}{x} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{12}{x} - \frac{9}{x + 1} = \frac{1}{2}$

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6. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距 $300 k m$ ；②甲车的平均速度是 $60 k m / h$ ，乙车的平均速度是 $100 k m / h$ ；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在 $9 ： 30$ 追上乙车．正确的有（）

A、①② B、①③ C、②④ D、①④

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，分别以B，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交 $B D$ 于点O，交 $A D ， B C$ 于点E，F，下列结论不正确的是（）

A、 $A E = C F$ B、 $D E = B F$ C、 $O E = O F$ D、 $D E = D C$

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8. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： $Ω$ )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为 $6 Ω$ 时，电流为（）

A、 $3 A$ B、 $4 A$ C、 $6 A$ D、 $8 A$

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9. 设有边长分别为a和b( $a > b$ )的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 $a + b$ 的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为 $3 a + b$ 、宽为 $2 a + 2 b$ 的矩形，则需要C类纸片的张数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 如图，已知开口向下的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $(6 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ．则下列结论正确的有（）
① $a b c < 0$ ；

② $a - b + c > 0$ ；

③方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两个根为 $x_{1} = \frac{1}{2} ， x_{2} = - \frac{1}{6}$ ；

④抛物线上有两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 和 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < 2 < x_{2}$ 且 $x_{1} + x_{2} > 4$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）

11. 计算： $(- 2)^{2} + (- 2) \times 2 =$ ．

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12. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A ⊥ B C ， ∠ A O B = 60 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为．

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13. 已知一元二次方程x²-3x＋1＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂-x₁x₂的值等于．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ， D为 $A C$ 上一点，若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，则 $A D =$ ．

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15. 某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， A D = 4$ ， M是边 $A B$ 上一动点（不含端点），将 $△ A D M$ 沿直线 $D M$ 对折，得到 $△ N D M$ ．当射线 $C N$ 交线段 $A B$ 于点P时，连接 $D P$ ，则 $△ C D P$ 的面积为； $D P$ 的最大值为．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17. 先化简，再求值： $\frac{4}{x^{2} - 4} \div \frac{2}{x - 2}$ ，其中 $x = 1$ ．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $D E ∥ A C ， C E ∥ B D$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 3 ， D C = 2$ ，求四边形 $O C E D$ 的面积．

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19. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：

(1)、接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；

(2)、若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为人；

(3)、若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．

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20. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度 $A B$ ，在建筑物附近有一斜坡，坡长 $C D = 10$ 米，坡角 $α = 30 °$ ，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为 $60 °$ ，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 $30 °$ ．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

(1)、求点D到地面 $B C$ 的距离；

(2)、求该建筑物的高度 $A B$ ．

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点E，C在 $⊙ O$ 上，点C是 $\overset{⌢}{B E}$ 的中点， $A E$ 垂直于过C点的直线 $D C$ ，垂足为D， $A B$ 的延长线交直线 $D C$ 于点F．

(1)、求证： $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 2$ ， $s i n ∠ A F D = \frac{1}{3}$ ， ①求 $⊙ O$ 的半径；②求线段 $D E$ 的长．

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22. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（ $1 \leq x \leq 30$ 且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式 $p = {\begin{array}{l} m x + n (1 \leq x < 20) \\ 30 (20 \leq x \leq 30) \end{array}$ （且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为 $q = x + 10$ ，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；

(3)、在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？

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23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

(1)、下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，

如图1，将 $△ A P C$ 绕，点C顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A^{'} P^{'} C$ ，连接 $P P^{'}$ ，

由 $P C = P^{'} C ， ∠ P C P^{'} = 60 °$ ，可知 $△ P C P^{'}$ 为三角形，故 $P P^{'} = P C$ ，又 $P^{'} A^{'} = P A$ ，故 $P A + P B + P C = P A^{'} + P B + P P^{'} \geq A^{'} B$ ，

由可知，当B，P， $P^{'}$ ， A在同一条直线上时， $P A + P B + P C$ 取最小值，如图2，最小值为 $A^{'} B$ ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 $∠ A P C = ∠ B P C = ∠ A P B =$ ；

已知当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 $∠ B A C \geq 120 °$ ，则该三角形的“费马点”为点．

(2)、如图4，在 $△ A B C$ 中，三个内角均小于 $120 °$ ，且 $A C = 3 ， B C = 4 ， ∠ A C B = 30 °$ ，已知点P为 $△ A B C$ 的“费马点”，求 $P A + P B + P C$ 的值；

(3)、如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 $A C = 4 k m ， B C = 2 \sqrt{3} k m ， ∠ A C B = 60 °$ ．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ $k m$ ， a元/ $k m$ ， $\sqrt{2} a$ 元/ $k m$ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．（结果用含a的式子表示）

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24. 如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 和 $C (0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ，点 $P (m ， n)$ $(m > 0)$ 为抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P N ⊥ x$ 轴交直线 $B C$ 于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ ．

(1)、直接写出抛物线和直线 $B C$ 的解析式；

(2)、如图2，连接 $O M$ ，当 $△ O C M$ 为等腰三角形时，求 $m$ 的值；

(3)、当 $P$ 点在运动过程中，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得以 $O$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与以 $B$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形相似（其中点 $P$ 与点 $C$ 相对应），若存在，直接写出点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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