湖北省武汉市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：中考真卷

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．

1. 实数3的相反数是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）

A、点数的和为1 B、点数的和为6 C、点数的和大于12 D、点数的和小于13

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4. 计算 ${(2 a^{2})}^{3}$ 的结果是（）

A、 $2 α^{5}$ B、 $6 a^{5}$ C、 $8 a^{5}$ D、 $8 a^{6}$

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5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 关于反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ ，下列结论正确的是（）

A、图像位于第二、四象限 B、图像与坐标轴有公共点 C、图像所在的每一个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、图像经过点 $(a ， a + 2)$ ，则 $a = 1$

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7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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8. 已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，计算 $(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A B$ ，以 $D$ 为圆心， $A D$ 为半径的弧恰好与 $B C$ 相切，切点为 $E$ ．若 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n C$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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10. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 $S = N + \frac{1}{2} L - 1$ ，其中 $N ， L$ 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 $A (0 ， 30)$ ， $B (20 ， 10) ， O (0 ， 0)$ ，则 $△ A B O$ 内部的格点个数是（）

A、266 B、270 C、271 D、285

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．

11. 写出一个小于4的正无理数是．

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12. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为 $1.36 \times 1 0^{n}$ 的形式，则 $n$ 的值是（备注：1亿＝100000000）．

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13. 如图，将 $45 °$ 的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 $37 °$ 的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm
（结果精确到0.1cm，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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14. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程 $s$ （单位：步）关于善行者的行走时间 $t$ 的函数图象，则两图象交点 $P$ 的纵坐标是．

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15. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $c < 0$ ）经过 $(1 ， 1) ， (m ， 0) ， (n ， 0)$ 三点，且 $n \geq 3$ ．下列四个结论：
① $b < 0$ ；

② $4 a c - b^{2} < 4 a$ ；

③当 $n = 3$ 时，若点 $(2 ， t)$ 在该抛物线上，则 $t > 1$ ；

④若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = x$ 有两个相等的实数根，则 $0 < m \leq \frac{1}{3}$ ．

其中正确的是（填写序号）．

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16. 如图， $D E$ 平分等边 $△ A B C$ 的面积，折叠 $△ B D E$ 得到 $△ F D E ， A C$ 分别与 $D F ， E F$ 相交于 $G ， H$ 两点．若 $D G = m ， E H = n$ ，用含 $m ， n$ 的式子表示 $G H$ 的长是．

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三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 < 2 ① \\ 3 x + 2 \geq x ② \end{array}$ 请按下列步骤完成解答．

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)、原不等式组的解集是．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ B = ∠ D$ ，点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $∠ E = ∠ E C D$ ；

(2)、若 $∠ E = 60 ° ， C E$ 平分 $∠ B C D$ ，直接写出 $△ B C E$ 的形状．

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19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间

t

（单位：

h

）作为样本，将收集的数据整理后分为

A ， B ， C ， D ， E

五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．

各组劳动时间的频数分布表

组别	时间 $t / h$	频数
$A$	$0 < t \leq 0.5$	5
$B$	$0.5 < t \leq 1$	$a$
$C$	$1 < t \leq 1.5$	20
$D$	$1.5 < t \leq 2$	15
$E$	$t > 2$	8

各组劳动时间的扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题．

(1)、A组数据的众数是；

(2)、本次调查的样本容量是， B组所在扇形的圆心角的大小是；

(3)、若该校有

1200

名学生，估计该校学生劳动时间超过

1 h

的人数．

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20. 如图， $O A ， O B ， O C$ 都是 $⊙ O$ 的半径， $∠ A C B = 2 ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $∠ A O B = 2 ∠ B O C$ ；

(2)、若 $A B = 4 ， B C = \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 $A B C D$ 四个顶点都是格点， $E$ 是 $A D$ 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)、在图（1）中，先将线段 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画对应线段 $B F$ ，再在 $C D$ 上画点 $G$ ，并连接 $B G$ ，使 $∠ G B E = 45 °$ ；

(2)、在图（2）中， $M$ 是 $B E$ 与网格线的交点，先画点 $M$ 关于 $B D$ 的对称点 $N$ ，再在 $B D$ 上画点 $H$ ，并连接 $M H$ ，使 $∠ B H M = ∠ M B D$ ．

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22. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离

x

（单位：

m

）以、飞行高度

y

（单位：

m

）随飞行时间

t

（单位：

s

）变化的数据如下表．

飞行时间 $t / s$	2	4	6	8	…
飞行水平距离 $x / m$	10	20	30	40	…
飞行高度 $y / m$	22	40	54	64	…

探究发现： $x$ 与 $t$ ， $y$ 与 $t$ 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 $x$ 关于 $t$ 的函数解析式和 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 $A$ 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

(1)、若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

(2)、在安全线上设置回收区域

M N ， A M = 125 m ， M N = 5 m

．若飞机落到

M N

内（不包括端点

M ， N

），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

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23. 问题提出：如图（1）， $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $△ A E F$ 是等腰三角形， $A E = E F$ ， $∠ A E F = ∠ A B C = α (a \geq 90 °) ， A F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，探究 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．

(1)、问题探究：
先将问题特殊化，如图（2），当 $α = 90 °$ 时，直接写出 $∠ G C F$ 的大小；

(2)、再探究一般情形，如图（1），求 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．
问题拓展：

(3)、将图（1）特殊化，如图（3），当 $α = 120 °$ 时，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

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24. 抛物线 $C_{1} ： y = x^{2} - 2 x - 8$ 交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边），交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、直接写出 $A ， B ， C$ 三点的坐标；

(2)、如图（1），作直线 $x = t (0 < t < 4)$ ，分别交 $x$ 轴，线段 $B C$ ，抛物线 $C_{1}$ 于 $D ， E ， F$ 三点，连接 $C F$ ．若 $△ B D E$ 与 $△ C E F$ 相似，求 $t$ 的值；

(3)、如图（2），将抛物线 $C_{1}$ 平移得到抛物线 $C_{2}$ ，其顶点为原点．直线 $y = 2 x$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于 $O ， G$ 两点，过 $O G$ 的中点 $H$ 作直线 $M N$ （异于直线 $O G$ ）交抛物线 $C_{2}$ 于 $M ， N$ 两点，直线 $M O$ 与直线 $G N$ 交于点 $P$ ．问点 $P$ 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．

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