浙江省杭州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）

A、 $8.8 \times 1 0^{4}$ B、 $8.08 \times 1 0^{4}$ C、 $8.8 \times 1 0^{5}$ D、 $8.08 \times 1 0^{5}$

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2. $(- 2)^{2} + 2^{2} =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、8

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3. 分解因式： $4 a^{2} - 1 =$ （）

A、 $(2 a - 1) (2 a + 1)$ B、 $(a - 2) (a + 2)$ C、 $(a - 4) (a + 1)$ D、 $(4 a - 1) (a + 1)$

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4. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 在直角坐标系中，把点 $A (m ， 2)$ 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 $B$ ．若点 $B$ 的横坐标和纵坐标相等，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $O A ， O B$ 互相垂直，点 $C$ 在劣弧 $A B$ 上．若 $∠ A B C = 19 °$ ，则 $∠ B A C =$ （）

A、 $23 °$ B、 $24 °$ C、 $25 °$ D、 $26 °$

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7. 已知数轴上的点 $A ， B$ 分别表示数 $a ， b$ ，其中 $- 1 < a < 0$ ， $0 < b < 1$ ．若 $a \times b = c$ ，数 $c$ 在数轴上用点 $C$ 表示，则点 $A ， B ， C$ 在数轴上的位置可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设二次函数 $y = a (x - m) (x - m - k) (a > 0 ， m ， k$ 是实数 $)$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ B、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$ C、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ D、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$

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9. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（）

A、中位数是3，众数是2 B、平均数是3，中位数是2 C、平均数是3，方差是2 D、平均数是3，众数是2

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10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ $△ D A E ， △ A B F ， △ B C G ， △ C D H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ 中， $∠ A B F > ∠ B A F$ ，连接 $B E$ ．设 $∠ B A F = α ， ∠ B E F = β$ ，若正方形 $E F G H$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之比为 $1 ： n ， t a n α = t a n^{2} β$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分。

11. 计算： $\sqrt{2}$ $- \sqrt{8} =$

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12. 如图，点 $D ， E$ 分别在 $△ A B C$ 的边 $A B ， A C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ，点 $F$ 在线段 $B C$ 的延长线上．若 $∠ A D E = 28 °$ ， $∠ A C F = 118 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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13. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和 $n$ 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为 $\frac{2}{5}$ ，则 $n =$ ．

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14. 如图，六边形 $A B C D E F$ 是 $⊙ O$ 的内接正六边形，设正六边形 $A B C D E F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ ．

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15. 在“探索一次函数y=kx+b的系数k、b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式 $y_{1} = k_{1} x + b_{1} ， y_{2} = k_{2} x + b_{2} ， y_{3} = k_{3} x + b_{3}$ ．分别计算 $k_{1} + b_{1}$ ， $k_{2} + b_{2} ， k_{3} + b_{3}$ 的值，其中最大的值等于．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A < 90 °$ ，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $A B$ ， $B C ， C A$ 上，连接 $D E ， E F ， F D$ ，已知点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称．设 $\frac{B C}{A B} = k$ ，若 $A D = D F$ ，则 $\frac{C F}{F A} =$ （结果用含 $k$ 的代数式表示）．

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三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 设一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ ．在下面的四组条件中选择其中一组 $b ， c$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① $b = 2 ， c = 1$ ；② $b = 3 ， c = 1$ ；③ $b = 3 ， c = - 1$ ；④ $b = 2 ， c = 2$ ．

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18. 某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．

(1)、在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？

(2)、补全条形统计图．

(3)、已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．

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19. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E ， F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = E F = F D$ ，连接 $A E ， E C$ ， $C F ， F A$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

(2)、若 $△ A B E$ 的面积等于2，求 $△ C F O$ 的面积．

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20. 在直角坐标系中，已知 $k_{1} k_{2} \neq 0$ ，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 与函数 $y_{2} = k_{2} (x - 2) + 5$ 的图象交于点 $A$ 和点 $B$ ．已知点 $A$ 的横坐标是2，点 $B$ 的纵坐标是 $- 4$ ．

(1)、求 $k_{1} ， k_{2}$ 的值．

(2)、过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，在第二象限交于点 $C$ ；过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线，在第四象限交于点 $D$ ．求证：直线 $C D$ 经过原点．

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21. 在边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上（不与点 $A$ ， $D$ 重合），射线 $B E$ 与射线 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、若 $E D = \frac{1}{3}$ ，求 $D F$ 的长．

(2)、求证： $A E \cdot C F = 1$ ．

(3)、以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交线段 $B E$ 于点 $G$ ．若 $E G = E D$ ，求 $E D$ 的长．

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22. 设二次函数

y = a x^{2} + b x + 1

，（

a \neq 0

，

b

是实数）．已知函数值

y

和自变量

x

的部分对应取值如下表所示：

$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	$m$	1	$n$	1	$p$	…

(1)、若

m = 4

，求二次函数的表达式；

(2)、写出一个符合条件的

x

的取值范围，使得

y

随

x

的增大而减小．

(3)、若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求

a

的取值范围．

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23. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 垂直弦 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $A C ， A D ， B C$ ，作 $C F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，交线段 $O B$ 于点 $G$ （不与点 $O ， B$ 重合），连接 $O F$ ．

(1)、若 $B E = 1$ ，求 $G E$ 的长．

(2)、求证： $B C^{2} = B G \cdot B O$ ．

(3)、若 $F O = F G$ ，猜想 $∠ C A D$ 的度数，并证明你的结论．

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