【高考真题】2023年北京高考数学卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $M = {x ∣ x + 2 \geq 0} ， N = {x ∣ x - 1 < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ C、 ${x ∣ x \geq - 2}$ D、 ${x ∣ x < 1}$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(- 1 ， \sqrt{3})$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + \sqrt{3} i$ B、 $1 - \sqrt{3} i$ C、 $- 1 + \sqrt{3} i$ D、 $- 1 - \sqrt{3} i$

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2 ， 3) ， \vec{a} - \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $| \vec{a} |^{2} - | \vec{b} |^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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4. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - l n x$ B、 $f (x) = \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 3^{| x - 1 |}$

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5. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）．

A、 $- 80$ B、 $- 40$ C、40 D、80

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6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x = - 3$ 的距离为5，则 $| M F | =$ （）

A、7 B、6 C、5 D、4

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7. 在 $△ A B C$ 中， $(a + c) (s i n A - s i n C) = b (s i n A - s i n B)$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 若 $x y \neq 0$ ，则“ $x + y = 0$ ”是“ $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 $A B = 25 m ， B C = A D = 10 m$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A、 $102 m$ B、 $112 m$ C、 $117 m$ D、 $125 m$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{4} {(a_{n} - 6)}^{3} + 6 (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时， ${a_{n}}$ 为递减数列，且存在常数 $M ≤ 0$ ，使得 $a_{n} > M$ 恒成立 B、当 $a_{1} = 5$ 时， ${a_{n}}$ 为递增数列，且存在常数 $M \leq 6$ ，使得 $a_{n} < M$ 恒成立 C、当 $a_{1} = 7$ 时， ${a_{n}}$ 为递减数列，且存在常数 $M > 6$ ，使得 $a_{n} > M$ 恒成立 D、当 $a_{1} = 9$ 时， ${a_{n}}$ 为递增数列，且存在常数 $M > 0$ ，使得 $a_{n} < M$ 恒成立

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二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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12. 已知双曲线C的焦点为 $(- 2 ， 0)$ 和 $(2 ， 0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则C的方程为．

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13. 已知命题 $p ：$ 若 $α ， β$ 为第一象限角，且 $α > β$ ，则 $t a n α > t a n β$ ．能说明p为假命题的一组 $α ， β$ 的值为 $α =$ ， $β =$ ．

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14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ${a_{n}}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 $a_{1} = 1 ， a_{5} = 12 ， a_{9} = 192$ ，则 $a_{7} =$ ；数列 ${a_{n}}$ 所有项的和为．

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15. 设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < - a ， \\ \sqrt{a^{2} - x^{2}} ， - a \leq x \leq a ， \\ - \sqrt{x} - 1 ， x > a . \end{array}$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 在区间 $(a - 1 ， + \infty)$ 上单调递减；

②当 $a \geq 1$ 时， $f (x)$ 存在最大值；

③设 $M (x_{1} ， f (x_{1})) (x_{1} \leq a) ， N (x_{2} ， f (x_{2})) (x_{2} > a)$ ，则 $| M N | > 1$ ；

④设 $P (x_{3} ， f (x_{3})) (x_{3} < - a) ， Q (x_{4} ， f (x_{4})) (x_{4} \geq - a)$ ．若 $| P Q |$ 存在最小值，则a的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{2}]$ ．

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = B C = 1 ， P C = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面PAB；

(2)、求二面角 $A - P C - B$ 的大小．

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17. 设函数 $f (x) = s i n ω x c o s φ + c o s ω x s i n φ (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $φ$ 的值．

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增， $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在，求 $ω ， φ$ 的值．
条件①： $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{2}$ ；

条件②： $f (- \frac{π}{3}) = - 1$ ；

条件③： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3}]$ 上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段	价格变化
第1天到第20天	-	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	-	-	+	-	+	0	0	+
第21天到第40天	0	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	+	-	-	-	+	0	-	+

用频率估计概率．

(1)、试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2)、假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)、假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

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19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 $E$ 的左、右顶点， $| A C | = 4$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为第一象限内E上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y = - 2$ 交于点 $N$ ．求证： $M N / / C D$ ．

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20. 设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

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21. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的项数均为m $(m > 2)$ ，且 $a_{n} ， b_{n} \in {1 ， 2 ， ⋯ ， m} ，$ ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的前n项和分别为 $A_{n} ， B_{n}$ ，并规定 $A_{0} = B_{0} = 0$ ．对于 $k \in {0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m}$ ，定义 $r_{k} = m a x {i ∣ B_{i} \leq A_{k} ， i \in {0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m}}$ ，其中， $m a x M$ 表示数集M中最大的数.

(1)、若 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 1 ， a_{3} = 3 ， b_{1} = 1 ， b_{2} = 3 ， b_{3} = 3$ ，求 $r_{0} ， r_{1} ， r_{2} ， r_{3}$ 的值；

(2)、若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j + 1} + r_{j - 1} ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m - 1 ，$ ，求 $r_{n}$ ；

(3)、证明：存在 $p ， q ， s ， t \in {0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m}$ ，满足 $p > q ， s > t ，$ 使得 $A_{p} + B_{t} = A_{q} + B_{s}$ ．

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