湖南省永州市道县2022-2023学年七年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程组中，表示二元一次方程组的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ z + x = 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ \frac{1}{y} = x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ x^{2} + y = 12 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = y + 11 \\ 2 x = \frac{y + 1}{2} \end{array}$

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2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2}$ B、 $x (x + 1) = x^{2} + x$ C、 $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ D、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$

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3. 下列运算一定正确的是（）.

A、 $(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2}$ B、 $(m n)^{3} = m^{3} n^{3}$ C、 $(m^{3})^{2} = m^{5}$ D、 $m • m^{2} = 2 m^{2}$

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4. 若 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 1 \\ b x + a y = 7 \end{array}$ 的解，则 $(a + b) (a - b)$ 的值为（）

A、16 B、-1 C、-16 D、1

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5. 若长和宽分别是 $a ， b$ 的长方形的周长为10，面积为4，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、14 B、16 C、20 D、40

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6. 计算 $0 . 5^{22} \times {(- 2)}^{23}$ 的值是（）

A、 $- 0.5$ B、 $0.5$ C、 $- 2$ D、2

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7. 如果y²－ay＋81是一个完全平方式，那么a的值是（）

A、18 B、－18 C、±18 D、以上选项都错

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8. 下列各式中不能用公式法分解因式的是

A、x²-6x+9 B、-x²+y² C、x²+2x+4 D、-x²+2xy-y²

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9. 如图， $∠ 1 = 30 °$ ， $∠ A O C = 90 °$ ，点B，O，D在同一条直线上，∠2＝（　　）

A、 $120 °$ B、 $115 °$ C、 $110 °$ D、 $105 °$

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10. 如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（　　）

A、 $a (a + b) = a^{2} + a b$ B、 $a (a - b) = a^{2} - a b$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

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二、填空题

11. 解方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 2 \\ c x - 7 y = 8 \end{array}$ 时，一学生把c看错得 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，已知方程组的正确解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ ，则abc值为．

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12. 计算： $(x - 1) (x + 3) - x (x - 2) =$ ．

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13. 已知|x－y＋2|+(x＋y－2)²＝0，则x²－y²的值为．

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14. 计算： $a^{5} \cdot {(- a)}^{3} + {(- 2 a^{2})}^{4} =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A B$ 方向平移 $A D$ 的长度得到 $△ D E F$ ，已知 $E F = 8 ， B E = 3 ， C G = 3$ .则图中阴影部分的面积 .

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16. 对于x，y，定义新运算x⊗y=ax+by-3（其中a，b是常数），等式的右边是通常的加法与乘法运算，已知1⊗2=9，（-3）⊗3=6，则2⊗（-7）= ．

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17. 若A＝(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)(2⁸＋1)＋1，则A的末位数字是．

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18. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 2 k \\ x - 2 y = k + 6 \end{array}$ 有下列说法：①当x与y相等时，解得 $k = - 4$ ；②当x与y互为相反数时，解得 $k = 3$ ；③若 $4^{x} \cdot 8^{y} = 32$ ，则 $k = 11$ ；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式 $x + 5 y + 12 = 0$ ，其中正确的序号是．

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三、解答题

19. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 0 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 14 \\ x + 3 y = 18 \end{array}$

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20. 利用因式分解计算：

(1)、 $201 8^{2} - 201 7^{2}$

(2)、 $10 2^{2} + 102 \times 196 + 9 8^{2}$

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21. 先化简，再求值： $(2 x + 1) (2 x - 1) - {(x - 2)}^{2} - 3 x^{2}$ ，其中 $x = - \frac{1}{4}$

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22. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 3 ① \\ x + 2 y = 2 - 3 m ② \end{array}$ 的解满足 $2 x + 3 y = 1$ ③，求 $m$ 的值．

(1)、按照小云的方法， $x$ 的值为， $y$ 的值为；

(2)、请按照小辉的思路求出 $m$ 的值．

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23. 去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运物资 $21$ 吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资 $23$ 吨．

(1)、求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？

(2)、现有 $60$ 吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金 $1000$ 元/次，B型车每辆需租金 $1500$ 元/次．那么该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少．

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24. 【阅读理解】
完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例：若 $a + b = 3 ， a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

解：∵ $a + b = 3 ， a b = 1$ ， ∴ ${(a + b)}^{2} = 9 ， 2 a b = 2$

∴ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$

∴ $a^{2} + b^{2} = 7$

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x + y = 8 ， x y = 12$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ；

(2)、类比应用：
若 $x + y = 4 ， x^{2} + y^{2} = 10$ ，求 $x y$ 的值；

(3)、思维拓展：如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C ， B C$ 为边向两边作正方形，若 $A B = 6$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 18$ ，求图中阴影部分面积．

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25. 如图1，点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，过点 $O$ 作射线 $O C$ ，使 $∠ A O C = 60 °$ ．将一直角三角板的直角顶点放在点 $O$ 处，一边 $O M$ 在射线 $O B$ 上，另一边 $O N$ 在直线 $A B$ 的下方．

(1)、将图1中的三角板绕点 $O$ 处逆时针旋转至图2，使一边 $O M$ 在 $∠ B O C$ 的内部．且恰好平分 $∠ B O C$ ，求 $∠ C O N$ 的度数；

(2)、在图3中，延长线段 $N O$ 得到射线 $O D$ ，判断 $O D$ 是否平分 $∠ A O C$ ，请说明理由．

(3)、将图1中的三角板绕点 $O$ 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 $t$ 秒时，直线 $O N$ 恰好平分锐角 $∠ A O C$ ，则 $t$ 的值为．（直接写出答案）

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