湖南省永州市宁远县2022-2023学年七年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程组中，表示二元一次方程组的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ z + x = 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ \frac{1}{y} = x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ x^{2} + y = 12 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = y + 11 \\ 2 x = \frac{y + 1}{2} \end{array}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 ${(- 1)}^{n} = - 1$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} (a + 1) = a^{3} + 1$

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3. 已知x、y满足方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 6 \\ x + 2 y = 3 \end{array}$ ，则 $x - y =$ （）

A、－3 B、3 C、2 D、0

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4. 下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）

A、 $x (2 x + 1) = 3 x + 1$ B、 $1 - a^{2} = (1 + a) (1 - a)$ C、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ D、 $a^{2} - 2 a + 3 = {(a - 1)}^{2} + 2$

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5. 若 $m + n = 3$ ，则 $2 m^{2} + 4 m n + 2 n^{2} - 6$ 的值为（）

A、12 B、6 C、3 D、0

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6. 若实数满足（x+y+2）（x+y-1）=0，则x+y的值为（　　）

A、1 B、-2 C、2或-1 D、-2或1

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7. 计算： $10 0^{2} - 2 \times 100 \times 99 + 9 9^{2} = ($ 　　 $)$

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、39601

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8. 用加减法解二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 11 ① \\ 5 x + 3 y = - 7 ② \end{matrix}$ ，用①减②得到的方程是（）

A、 $3 x = - 4$ B、 $- 3 x = 18$ C、 $7 x = 6$ D、 $- 7 x = 10$

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9. 下列能用平方差公式计算的是（）

A、 $(- x + y) (x + y)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(x + 2) (2 + x)$ D、 $（ 2 x + 3) (3 x - 2)$

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10. 哥哥和弟弟今年的年龄和是16岁，哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”求弟弟、哥哥今年的年龄，设弟弟，哥哥今年的年龄分别为x岁，y岁，根据题意可列的一个方程为 $x + y = 16$ ，则另一个方程为（　　）

A、 $2 (x + 4) = y + 4$ B、 $2 (x - 4) = y - 4$ C、 $x + 4 = 2 (y + 4)$ D、 $x - 4 = 2 (y - 4)$

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二、填空题

11. 若方程 $(m + 1) x + 3 y^{m} = 5$ 是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程，则 $m$ 的值为．

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12. 已知 $2 x - y = 6$ ，用x表示y的式子为 $y =$ ．

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13. 已知正方形的边长为 $a$ ，如果它的边长增加6，那么它的面积增加．

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14. 已知 $a = 2^{555}$ ， $b = 3^{444}$ ， $c = 6^{222}$ ，则a、b、c的大小关系是（请用字母表示，并用“ $<$ ”连接）．

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15. 因式分解： $9 - a^{2}$ = ．

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16. 计算： $(x - 1) (x + 3) - x (x - 2) =$ ．

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17. 如果实数 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{array}$ ，那么 $x^{2} - y^{2} =$ .

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18. 如果 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 1 \\ 2 x - 3 y = 2 \end{array}$ ，那么 $\frac{2 x + 4 y - 2}{2} + \frac{6 x - 9 y}{3}$ =.

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三、解答题

19. 因式分解

(1)、 $a x^{2} - 4 a y^{2}$

(2)、 $x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

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20. 解方程组

(1)、 ${\begin{array}{l} x = y - 2 \\ 3 x + 2 y = - 1 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 11 \\ 4 x + 5 y = 0 \end{array}$

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21. 先化简，再求值： $(m + n)^{2} - 2 m (m + n)$ ，其中 $m = 2$ ， $n = - 3$ .

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22. 已知 $x + y = 7$ ， $x y = 6$ ．试求：

(1)、 $x - y$ 的值；

(2)、 $x^{3} y + x y^{3}$ 的值．

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23. 甲、乙两人各有书若干本，如果甲送乙10本，那么两人所有的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的两倍．问原来甲、乙各有书多少本？

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24. 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)、上述操作能验证的等式是：A． $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ， B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ （请选择正确的选项）：

(2)、请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 $a^{2} - b^{2} = 36 ， a + b = 9$ ，则 $a - b =$ ；

②计算： $(2 0^{2} - 1 9^{2}) + (1 8^{2} - 1 7^{2}) + (1 6^{2} - 1 5^{2}) + ⋯ ⋯ + (4^{2} - 3^{2}) + (2^{2} - 1)$ ．

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25. 在计算 $(x + a) (x + b)$ 时，甲把b错看成了6，得到结果是： $x^{2} + 8 x + 12$ ；乙错把a看成了 $- a$ ，得到结果： $x^{2} + x - 6$ .

(1)、求出a，b的值；

(2)、在（1）的条件下，计算 $(x + a) (x + b)$ 的结果.

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26. 阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷ ，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁸
将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁸-1，即S=2²⁰¹⁸-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷=2²⁰¹⁸-1
请你仿照此法计算：

(1)、1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰

(2)、1+3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁶ ．

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27. 提出问题：你能把多项式 $x^{2} + 5 x + 6$ 因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设 $a$ ， $b$ 为常数，由面积相等可得： $(x + a) (x + b) = x^{2} + a x + b x + a b = x^{2} + (a + b) x + a b$ ，将该式从右到左使用，就可以对形如 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的多项式进行进行因式分解即 $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．观察多项式 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 3) (x + 2)$
运用结论：

(1)、基础运用：把多项式 $x^{2} - 5 x - 24$ 进行因式分解．

(2)、知识迁移：对于多项式 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 进行因式分解还可以这样思考：将二次项 $4 x^{2}$ 分解成图2中的两个 $2 x$ 的积，再将常数项 $- 15$ 分解成 $- 5$ 与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为 $- 4 x$ ，就是 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 的一次项，所以有 $4 x^{2} - 4 x - 15 = (2 x - 5) (2 x + 3)$ ．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： $3 x^{2} - 19 x - 14$

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