湖南省常德市安乡县2022-2023学年七年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 3, \\ x + y = 6 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 1, \\ y = 5. \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 3, \\ y = 0. \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 4, \\ y = 2. \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 5, \\ y = 1. \end{array}$

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2. 下列因式分解正确的是（）

A、（x＋5）（x－3）＝x²＋2x－15 B、2x²－4x－1＝2x（x－2）－1 C、x²y－2xy²＋xy＝xy（x－2y） D、x³－9x＝x（x＋3）（x－3）

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $4 m^{2} \cdot 2 m^{3} = 8 m^{6}$ B、 ${(- m^{2})}^{3} = - m^{6}$ C、 $- m (- m + 2) = - m^{2} - 2 m$ D、 $m^{2} + m^{3} = m^{6}$

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4. 若 $4 x^{2} - m x + 4$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

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5. 已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x²y﹣xy²的值为（）

A、2 B、﹣6 C、5 D、﹣3

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6. 下列说法：
不相交的两条线是平行线；
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；
若线段 $A B$ 与 $C D$ 没有交点，则 $A B ∥ C D$ ；
若 $a ∥ b ， b ∥ c$ ，则a与c不相交；
若以上的说法均不考虑重合的情况，则其中正确的说法个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 某公司有学徒工和熟练工两个工种的工人，已知一个学徒工每天制造的零件比一个熟练少 $20$ 个，一个学徒工与两个熟练工每天共可制造 $220$ 个零件，求一个学徒工与一个熟练工每天各能制造多少个零件?设一个学徒工每天能制造 $x$ 个零件，一个熟练工每天能制造 $y$ 个零件，根据题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 20 \\ x + 2 y = 220 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 20 \\ x + 2 y = 220 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - x = 20 \\ 2 x + y = 220 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - y = 20 \\ 2 x + y = 220 \end{array}$

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8. 若： $4 x - 3 y - 6 z = 0$ ， $x + 2 y - 7 z = 0$ ， $(x y z \neq 0)$ ，则：代数式 $\frac{5 x^{2} + 2 y^{2} - z^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2} - 10 z^{2}}$ 的值等于（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{19}{2}$ C、 $- 15$ D、 $- 13$

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二、填空题

9. 已知 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是方程 $3 x + a y = 5$ 的解，则 $a =$ ．

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10. 计算： $- x^{2} \cdot (- x)^{3} =$ ．

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11. 已知 $2 x + 3 y - 2 = 0$ ，则 $9^{x} \cdot 2 7^{y}$ 的值为．

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12. 把多项式 $9 a^{3} - a b^{2}$ 分解因式的结果是．

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13. 若：（x²+mx+n）（x+1）的结果中不含x²的项和x的项，则mn=.

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14. 设a是正数，且 $a - \frac{2}{a} = 1$ ，那么 $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$ 等于．

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15. 如图，下列结论正确的序号是．
① $∠ A B C$ 与 $∠ C$ 是同位角；② $∠ C$ 与 $∠ A D C$ 是同旁内角；③ $∠ B D C$ 与 $∠ D B C$ 是内错角；④ $∠ A B D$ 的内错角是 $∠ B D C$ ；⑤ $∠ A$ 与 $∠ A B D$ 是由直线 $A D$ ， $B D$ 被直线 $A B$ 所截得到的同旁内角．

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16. 计算： $2 (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) (1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{14}} =$ ．

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三、解答题

17. 计算： $202 2^{2} - 2021 \times 2023$ ．

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18. 因式分解： $2 a^{3} - 8 a^{2} + 8 a$ ．

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19. 计算： $y (2 x - y) + (x + y)^{2}$

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - 2 y = 3 \\ 3 x + y = 2 \end{array}$ ．

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21. 已知多项式 $A = (x + 2)^{2} + (1 - x) (2 + x) - 3$

(1)、化简多项式 $A$ ；

(2)、若 $x$ 是方程 $\frac{y - 1}{2} = y$ 的解，求多项式 $A$ 的值．

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22. 已知 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 6 \end{array}$ 和 ${\begin{array}{l} x = 13 \\ y = 2 \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程 $a x - 2 b y = 4$ 的两组解，求 $(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$ 的值．

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23. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} m x + 2 n y = 4 \\ x + y = 1 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} x - y = 3 \\ n x + (m - 1) y = 3 \end{array}$ 有相同的解，

(1)、求这个相同的解；

(2)、求m、n的值；

(3)、小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程 $(3 + a) x + (2 a + 1) y = 5$ 的解，这句话对吗？请你说明理由．

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24. 抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆 $A$ 型车和1辆 $B$ 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆 $A$ 型车和2辆 $B$ 型车装满货物一次可运货11吨．

(1)、求1辆 $A$ 型车和1辆 $B$ 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)、该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用 $A$ 型车 $a$ 辆， $B$ 型车 $b$ 辆（每种车辆至少1辆且 $A$ 型车数量少于 $B$ 型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若 $A$ 型车每辆需租金100元/次， $B$ 型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．

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25. 阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程 $2 x + 3 y = 12$ 有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由 $2 x + 3 y = 12$ ，得 $y = \frac{12 - 2 x}{3}$ ：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程 $2 x + 3 y = 12$ 的正整数解为 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ ．
问题：

(1)、请你直接写出方程 $3 x - y = 6$ 的一组正整数解．

(2)、若 $\frac{12}{x - 3}$ 为自然数，求满足条件的正整数x的值．

(3)、2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？

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26. 你能化简 $(a - 1) (a^{99} + a^{98} + a^{97} + \cdot \cdot \cdot + a^{2} + a + 1)$ 吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．

(1)、探究发现：先填空：
$(a - 1) (a + 1) =$ ；
$(a - 1) (a^{2} + a + 1) =$ ；
$(a - 1) (a^{3} + a^{2} + a + 1) =$ ；…
由此猜想： $(a - 1) (a^{99} + a^{98} + a^{97} + \cdot \cdot \cdot + a^{2} + a + 1) =$ ．

(2)、拓展应用：利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求 $2^{199} + 2^{198} + 2^{197} + \cdot \cdot \cdot + 2^{2} + 2 + 1$ 的值；
②若 $a^{7} + a^{6} + a^{5} + a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 = 0$ ，求 $a$ 等于多少？

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