广西北海市2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上恒有 $f^{'} (x) > 0$ ，对于 $x_{1} ， x_{2} \in (a ， b)$ ，则“ $x_{1} > x_{2}$ ”是“ $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 函数 $f (x) = x e^{- x}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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3. 某职业体验活动共设置五个职业，五位同学各选其中一个职业，若至少选出四个职业，活动才能正常进行，则不同的选择方案共有（）

A、1320种 B、1200种 C、325种 D、600种

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4. $(x - 1) {(\frac{1}{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中的常数项是（）

A、－112 B、－48 C、48 D、112

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5. 设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为 $p_{k}$ ，则(　　)

A、 $p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n} = 1$ B、 $p_{0} + p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n} = 1$ C、 $p_{0} + p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n} = 0$ D、 $p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n - 1} = 1$

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6. 抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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7. 函数 $f (x) = {(1 + \frac{1}{| x |})}^{| x |}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成，其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则一卦中恰有四个变爻的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{15}{64}$ C、 $\frac{735}{8^{6}}$ D、 $\frac{135}{4^{6}}$

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二、多选题

9. 下列运算正确的是（）

A、 ${(c o s \frac{π}{6})}^{^{'}} = - \frac{1}{2}$ B、 ${[l n (3 x + 1)]}^{^{'}} = \frac{3}{3 x + 1}$ C、 ${(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{^{'}} = - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{4}}}$ D、 ${(e^{- x})}^{^{'}} = e^{- x}$

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10. 已知两种不同型号的电子元件（分别记为 $X$ ， $Y$ ）的使用寿命均服从正态分布， $X ~ N$ $(μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示（）

参考数据：若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq Z \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq Z \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$

A、 $P (μ_{1} - σ_{1} < X < μ_{1} + 2 σ_{1}) \approx 0.8186$ B、 $P (Y \geq μ_{2}) < P (Y \geq μ_{1})$ C、 $P (X \leq σ_{2}) < P (X \leq σ_{1})$ D、对于任意的正数 $t$ ，有 $P (X \leq t) > P (Y \leq t)$

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11. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 0$ ， $a_{6} a_{7} < 0$ ， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列式子一定成立的有（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{6} > 0$ C、 $a_{12} < 0$ D、 $S_{13} > 0$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 10 x$ 的焦点为F，过点F倾斜角为 $60 °$ 的直线 $l$ 与抛物线C交于 $A ， B$ 两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于D，则以下结论正确的是（）

A、 $| A F | = 10$ B、F为 $A D$ 的中点 C、 $2 | B D | = | B F |$ D、 $| B F | = \frac{8}{3}$

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三、填空题

13. $(x + \frac{1}{x})^{10}$ 的展开式中常数项是.

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14. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - x l n x$ 在点 $(1 ， 2)$ 处的切线方程为 $x + m y + t = 0$ ，则t=.

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15. 从集合 ${\begin{matrix} - 1 ， & 1 ， & 2 ， & 3 \end{matrix}}$ 随机取一个为 $m$ ，从集合 ${\begin{matrix} - 2 ， & - 1 ， & 1 ， & 2 \end{matrix}}$ 随机取一个为 $n$ ，则方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 表示双曲线的概率为．

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16. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2} + (2 a - 1) x$ ，若函数f(x)在 $x = 1$ 处取得极大值，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 安徽新高考改革方案正式公布，根据改革方案，计入高考总分的考试科目共有6门，即“3＋1＋2”，“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科，使用全国卷，选择性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门．由考生根据报考高校要求，结合自身特长兴趣，首先在物理和历史中选择1门，再从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + c$ ．

(1)、若某学生根据方案从选择性考试科目中随机选择三科，求该生恰好选到政史地的概率；

(2)、由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解学生选科的需求，随机选取100名学生进行调查，得到如下统计数据，判断是否有99%的把握认为“选科与性别有关”？

选择物理
选择历史
合计
男
40
10
50
女
30
20
50
合计
70
30
100

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18. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列， $a_{5}$ 为 $a_{6}$ ， $a_{7}$ 的等差中项， $a_{4} = - 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{2 n - 1} - a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $A B = A A_{1} = A C = 2$ ， $M$ 为 $A C$ 中点．

(1)、证明：直线 $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B M$ ；

(2)、求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值．

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20. $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $l g a - l g b = l g c o s B - l g c o s A \neq 0$ .

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、设向量 $\vec{m} = (2 a ， b) ， \vec{n} = (a ， - 3 b)$ 且 $\vec{m} ⊥ \vec{n} ， (\vec{m} + \vec{n}) \cdot (- \vec{m} + \vec{n}) = 14$ ，求 $a ， b ， c$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， - \frac{3}{2}) ， (2 ， 0)$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M，连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E，连接动点M与椭圆的上顶点B，与x的正半轴交于点F，记四边形 $A B F E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B M$ 的面积为 $S_{2}$ ， $λ = \frac{S_{1}}{S_{2}}$ ，求 $λ$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} - 2 x + a l n x$ ；

(1)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 4 .$

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	选择物理	选择历史	合计
男	40	10	50
女	30	20	50
合计	70	30	100