广西柳州市2022-2023学年高三第三次文数模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $M = {x | 0 < x < 1}$ ， $N = {x | x \geq - 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ C、 ${x | x \geq - 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 设 $(1 + i) z = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x$ B、 $y = | x |$ C、 $y = - x^{2} + 1$ D、 $y = - \frac{2}{x}$

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以x轴的非负半轴为始边，且点 $P (- 1 ， \sqrt{2})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 某个高级中学组织物理､化学学科能力竞赛，全校1000名学生都参加两科考试，考试后按学科分别评出一､二､三等奖和淘汰的这四个等级，现有某考场的两科考试数据统计如下，其中物理科目成绩为二等奖的考生有12人.如果以这个考场考生的物理和化学成绩去估计全校考生的物理和化学成绩分布，则以下说法正确的是（）

①该考场化学考试获得一等奖的有4人；

②全校物理考试获得二等奖的有240人；

③如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰78人.

A、①②③ B、②③ C、①② D、①③

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6. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1 ， a_{2} a_{4} = 0$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- 1$ 或 $- \frac{1}{3}$

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7. 已知 $a = 3^{0.1}$ ， $b = 0 . 3^{0.3}$ ， $c = l g 0.3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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8. 已知圆 $O_{1} ： {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $O_{2} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过动点P分别作圆 $O_{1}$ 、圆 $O_{2}$ 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 $| P A | = \sqrt{2} | P B |$ ，则动点P的轨迹方程为（）．

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $x^{2} = 4 y$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 33$

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9. 一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 函数 $f (x) = s i n (π x) + \frac{1}{x - 1}$ ，则 $y = f (x)$ 的图象在 $(- 2 ，_{}^{} 4)$ 内的零点之和为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $y = - x$

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12. 已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率相同，且双曲线 $C_{2}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $M$ 是双曲线 $C_{2}$ 一条渐近线上的某一点，且 $O M ⊥ M F_{2}$ ， $S_{△ O M F_{2}} = 8 \sqrt{3}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的实轴长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知向量的 $\vec{A B} = (7 ， 6)$ ， $\vec{B C} = (- 3 ， m)$ ， $\vec{A D} = (- 1 ， 2 m)$ ，若A，C，D三点共线，则m=.

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14. 函数 $f (x) = x e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线方程是.

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $(a_{n + 1} - 2) (a_{n} + 1) + 2 = 0$ ，则 $a_{n} =$ .

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A ⊥ P B$ ， $A B = B C = A C = 4$ ，则该三棱锥外接球的表面积是.

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三、解答题

17. 求值：

(1)、 $s i n \frac{π}{12} s i n \frac{5 π}{12}$ ；

(2)、 $t a n 2 0^{∘} + t a n 4 0^{∘} + \sqrt{3} t a n 2 0^{∘} t a n 4 0^{∘}$ .

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18. 近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

现根据散点图利用 $y = a + b \sqrt{x}$ 或 $y = c + \frac{d}{x}$ 建立y关于x的回归方程，令 $s = \sqrt{x}$ ， $t = \frac{1}{x}$ 得到如下数据：

$\bar{x}$		$\bar{y}$		$\bar{s}$		$\bar{t}$
10.15		109.94		3.04		0.16
$\sum_{i = 1}^{n} s_{i} y_{i} - 13 \bar{s} \cdot \bar{y}$	$\sum_{i = 1}^{13} t_{i} y_{i} - 13 \bar{t} \cdot \bar{y}$		$\sum_{k = 1}^{13} s_{i}^{2} - 13 {\bar{s}}^{2}$		$\sum_{i = 1}^{13} t_{i}^{2} - 13 {\tilde{t}}^{2}$		$\sum_{i = 1}^{13} y_{i}^{2} - 13 \bar{y^{2}}$
13.94	-2.1		11.67		0.21		21.22

且( $s_{i}$ ， $y_{i}$ )与( $t_{i}$ ， $y_{i}$ )(i＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，且 $r_{2}$ ＝﹣0.9953．

参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374， $\sqrt{247.6374}$ ＝15.7365，对于一组数据( $u_{i}$ ， $v_{i}$ )(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线方程 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = v - \hat{β} \bar{u}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}}$ ．

(1)、用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；

(2)、根据（1）的结果及表中数据，建立

\hat{y}

关于x的回归方程；

(3)、已知蕲艾的利润z与x、y的关系为

z = 20 y - \frac{1}{2} x

，当x为何值时，z的预报值最大．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形. $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = C D = \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD.

(1)、若M为PB的中点，证明： $C M ∥$ 面PAD；

(2)、求三棱锥 $C - P B D$ 的体积.

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20. 已知函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (- x) = x + \frac{2}{x} (x \neq 0)$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、若对 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} \in (2 ， 4)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > \frac{k}{x_{2} \cdot x_{1}} (k \in R)$ 成立，求实数k的取值范围.

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21. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 上一点 $P (- 2 ， 1)$ ，焦点为F．

(1)、求 $| P F |$ 的值；

(2)、已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且 $P A ⊥ P B$ ，过点P作直线AB的垂线，垂足为C，求C点的轨迹方程．

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22. 已知△ABC的外接圆的半径为 $R = 2 \sqrt{3}$ ，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，又向量 $\vec{m} = (s i n A - s i n C ， \sqrt{3} (b - a))$ ， $\vec{n} = (s i n A + s i n C ， \frac{s i n B}{12})$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角C；

(2)、求△ABC的面积S的最大值，并求此时△ABC的周长.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - \frac{1}{x} | + | x - \frac{5}{x} |$ .

(1)、若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.

(2)、证明： $f (x) + x^{2} - 2 x > 3$ .

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