广西钦州市2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导数 $y = f^{^{'}} (x)$ 的图象，则下面判断正确的是（）

A、在 $(- 3 ， 1)$ 内 $f (x)$ 是增函数 B、在 $(1 ， 2)$ 内 $f (x)$ 是增函数 C、在 $x = 1$ 时 $f (x)$ 取得极大值 D、在 $x = 2$ 时 $f (x)$ 取得极小值

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2. 函数 $f (x) = 2 x - l n (2 x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{4})$

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3. 根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为（）

A、18 B、24 C、28 D、36

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4. ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中x的系数为（）

A、560 B、1120 C、-35 D、280

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5. 随机变量X的分布列如表所示，若 $E (X) = \frac{1}{3}$ ，则 $D (3 X - 2) =$ （）

X

$- 1$

0

1

P

$\frac{1}{6}$

a

b

A、3 B、 $\frac{5}{3}$ C、5 D、9

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6. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取1件，则取到次品的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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7. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止对共取了X次球，则 $P (X = 12)$ 等于（）

A、 $C_{11}^{9} {(\frac{3}{8})}^{10} {(\frac{5}{8})}^{2}$ B、 $C_{12}^{9} {(\frac{3}{8})}^{9} {(\frac{5}{8})}^{2}$ C、 $C_{11}^{9} {(\frac{5}{8})}^{9} {(\frac{3}{8})}^{2}$ D、 $C_{11}^{9} {(\frac{3}{8})}^{9} {(\frac{5}{8})}^{2}$

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二、多选题

8. 下列结论中正确的有（）

A、 $(s i n x)^{'} = c o s x$ B、 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{^{'}} = x^{\frac{2}{3}}$ C、 ${(l o g_{3} x)}^{^{'}} = \frac{1}{x l n 3}$ D、 ${(e^{- x})}^{^{'}} = - e^{- x}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 其前n项和为 $S_{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{3} = 2 ， a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} = \pm 8$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{3} = 2 ， a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} = 17$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} > 0 ， S_{3} = S_{10}$ ， $S_{n}$ 的最大值在 $n = 6$ 或 $7$ 时取得 D、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 ${2^{a_{n}}}$ 也为等比数列 $．$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（）

A、 $| P F |$ 最小值为2 B、若 $| P A | = | P B |$ ，则 $| A B | = 2 | P F |$ C、若 $| A B | = 8$ ，则 $| P F | = 2 \sqrt{2}$ D、若点P不在x轴上，则 $| F A | \cdot | F B | > {| P F |}^{2}$

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三、填空题

11. 已知 $x^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} {(x + 1)}^{6}$ ，则 $a_{2} =$ ， $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} =$ .

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12. 曲线 $y = (a x + 1) e^{x} (a \neq - 1)$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线与 $x$ 轴交于点．

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13. 某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是．

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四、解答题

14. 某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当

x ≥ 5

时，该顾客积分为3分，当

3 \leq x < 5

时，该顾客积分为2分，当

x < 3

时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：

1	3	1	1	6	3	3	4	1	2
4	1	2	5	3	1	2	6	3	1
6	1	2	1	2	2	5	3	4	5

(1)、以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：

(2)、某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.

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15. 在 $2 ， x ， 8 ， y$ 四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求x， y的值.

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16. 已知在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A E ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且底面 $A B C D$ 是正方形，F、G分别为 $A E$ 和 $C E$ 的中点.

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求证： $B D ⊥ C E$ .

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17. 已知过定点 $F (0 ， 1)$ ，且与直线 $l_{1}$ ： $y = - 1$ 相切的动圆圆心为 $C$ .

(1)、求圆心 $C$ 的轨迹方程 $E$ ；

(2)、过点 $F$ 作直线 $l_{2}$ 与轨迹 $E$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，交直线 $l_{1}$ 于点 $R$ ， $P Q$ 中点记为 $M$ ，求 $\overset{⇀}{M R} \cdot \overset{⇀}{F R}$ 的最小值.

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为2，圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 经过椭圆 $C$ 短轴顶点和两个焦点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 作斜率为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，点 $G$ 、 $H$ 满足： $\vec{O M} + \vec{O N} + \vec{O G} = \vec{O G} + \vec{O H} = \vec{0}$ .试问，是否存在点 $P$ ，使得 $M$ 、 $N$ 、 $G$ 、 $H$ 四点到点 $P$ 的距离均相等？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x e^{2 x} + \sqrt{2} e^{x} - a x (x e^{x} + \sqrt{2})$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线的斜率为 $\sqrt{2} + 1$ ，判断函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若 $a \in (0 ， \frac{1}{e})$ ，证明： $f (x) > 2 a$ 对 $x \in R$ 恒成立．

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X	$- 1$	0	1
P	$\frac{1}{6}$	a	b