广西玉林市2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $f (x)$ 为R上的可导函数，且 $\forall x \in R ，$ 均有 $f (x) > f$ ′（x），则有（）

A、 $e^{2013} f (- 2013) ⟨ f (0) ， f (2013) ⟩ e^{2013} f (0)$ B、 $e^{2013} f (- 2013) < f (0) ， f (2013) < e^{2013} f (0)$ C、 $e^{2013} f (- 2013) > f (0) ， f (2013) > e^{2013} f (0)$ D、 $e^{2013} f (- 2013) > f (0) ， f (2013) < e^{2013} f (0)$

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2. 函数 $f (x) = - l n x + 2 x^{2}$ 的递增区间是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ 和 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0) ∪ (\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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3. 从6人中选出4人分别到碧峰峡、蒙顶山、喇叭河、龙苍沟四个景区游览，要求每个景区有一人游览，每人只游览一个景区，且这6人中甲，乙两人不去龙苍沟游览，则不同的选择方案共有（）

A、168种 B、216种 C、240种 D、360种

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4. ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、-60 B、-15 C、15 D、60

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5. 随机变量 $X$ 的分布列如表所示，则 $D (X) =$ （）

X 0 2 4

P $\frac{1}{4}$ a $\frac{1}{4}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 某社区准备从甲、乙、丙、丁、戊5位同学中选取3名同学参加疫情防控志愿者服务，若每人被选中的可能性相等，则其中甲、乙2名同学同时被选取的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x)}{c o s x + 2}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 $3$ 次，至少出现一次6点朝上的概率是（）

A、 $\frac{125}{216}$ B、 $\frac{25}{216}$ C、 $\frac{31}{216}$ D、 $\frac{91}{216}$

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二、多选题

9. 以下函数求导正确的有（）

A、 $(x)^{'} = 1$ B、 $(s i n 2)^{'} = c o s 2$ C、 $(\frac{1}{x})^{'} = l n x$ D、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、若事件A与B相互独立，且 $0 < P (A)$ ， $P (B) < 1$ ，则 $P (A | B) = P (A)$ B、设随机变量X服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，则 $P (| X | < \frac{1}{2}) = 1 - 2 P (X < \frac{1}{2})$ C、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 而言，当样本相关系数 $| r |$ 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好

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11. 已知公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 0 ， S_{7} = a_{4} + 12$ ，则（）

A、 $d = 1$ B、 $a_{n} = n - 2$ C、 $a_{4} + a_{10} = a_{12}$ D、 $S_{n} = n^{2} - 3 n$

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12. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过抛物线焦点 $F$ 的直线 $l$ 自上而下，分别交抛物线与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 于 $A ， C ， D ， B$ 四点，则（）

A、 $| A C | \cdot | B D | \geq 2$ B、 $| O F | \cdot | A B | \geq 4$ C、 $| O A | \cdot | O B | \geq 5$ D、 $| A B | \cdot | A F | \geq 8$

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三、填空题

13. ${(1 - 2 x)}^{10}$ 的二项展开式中x项的系数为.

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14. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为.

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15. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.

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16. 已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x l n (a - x)$ 的极值点，则a=.

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四、解答题

17. 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．

(1)、根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；

(2)、根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；

(3)、经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）．

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18. 如果一个三角形的三个内角的度数成等差数列，这个三角形三个内角的大小能确定吗？你能得到什么结论？

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19. 如图所示， $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 是 $P D$ 的中点、若 $M$ 是 $C D$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点，连接 $P M$ 交 $C E$ 于点 $G$ ，连接 $B M$ 交 $A C$ 于点 $H$ ，连接 $G H$ ，求证： $G H / / P B$ .

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20. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的坐标分别是 $(- 6 ， 8) ， (3 ， 4)$ ，求：

(1)、 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角的余弦值；

(2)、 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 及 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) · (2 \vec{a} + \vec{b})$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (2 ， \sqrt{2})$ 在椭圆C上，且满足 $\vec{P F_{2}} \cdot \vec{F_{2} F_{1}} = 0$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆C交于不同的两点M，N，且 $O M ⊥ O N$ （O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - a l n (x + 1) + 1$ ．

(1)、当 $a > 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) - \frac{x + 1}{e^{x}} \geq 0$ ．

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X	0	2	4
P	$\frac{1}{4}$	a	$\frac{1}{4}$