广西玉林市2023届高三下学期理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 x < 4}$ ， $∁_{R} B = {x | x ⟩ 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 4}$ B、 ${x | - 2 < x < 4}$ C、 ${x | x < - 2}$ D、 ${x | - 2 < x \leq 4}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - 2 i}{2 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 我国在2020年开展了第七次全国人口普查，并于2021年5月11日公布了结果．自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性相对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）

A、近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势 B、我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增 C、第五次全国人口普查时，我国总人口数不足12亿 D、第七次人口普查时，我国总人口性别比最低

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4. 已知正项等比数列 ${a_{n}$ }满足 $a_{3}$ 为 $2 a_{2}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项，则 $\frac{a_{3} + a_{5}}{a_{1} + a_{3}} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α + 11 = 16 c o s α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 函数 $y = \frac{x - 3 s i n x}{| x |}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积是（）

A、 $1 c m^{3}$ B、 $\frac{2}{3} c m^{3}$ C、 $\frac{3}{2} c m^{3}$ D、 $\frac{16}{3} c m^{3}$

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9. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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10. 已知抛物线 $E ： y^{2} = a x (a \neq 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，一圆以 $F$ 为圆心且与 $l$ 相切，若该圆与抛物线 $E$ 交于点 $M (x_{0} ， y_{0})$ ，则 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的值为（）

A、 $- 2 a$ 或 $2 a$ B、-2或2 C、-2 D、 $2 a$

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11. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为 $6 c m$ ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为 $5 c m$ ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）

A、 $32 π c m^{3}$ B、 $\frac{4}{3} π c m^{3}$ C、 $\frac{169}{6} π c m^{3}$ D、 $\frac{32}{3} π c m^{3}$

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12. 已知 $a = e^{0.1} - 1$ ， $b = s i n 0.1$ ， $c = l n 1.1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. 若 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值是．

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14. ${(2 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为．

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15. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F ， F^{'}$ ，离心率为 $\frac{2}{3} ， A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，且 $\vec{A F} \cdot \vec{A F^{'}} = 5$ ，过原点的直线交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，则 $\frac{1}{| F M |} + \frac{4}{| F N |}$ 的取值范围为.

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16. 给出下列命题：（1）函数 $y = s i n | x |$ 不是周期函数；（2）函数 $y = t a n x$ 在定义域内为增函数；（3）函数 $y = | c o s 2 x + \frac{1}{2} |$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ；（4）函数 $y = 4 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ ．其中正确命题的序号是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = a c c o s C + c^{2} c o s A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 5$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. $2020$ 年 $1$ 月 $24$ 日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种， $3$ 月 $16$ 日 $20$ 时 $18$ 分，重组新冠疫苗获批启动临床试验. $4$ 月 $13$ 日，中国新冠病毒疫苗进入 $I I$ 期临床试验 $.$ 截至 $7$ 月 $20$ 日，全球当前有大约 $250$ 种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有 $17$ 种疫苗正处于临床试验阶段 $.$ 现有 $G$ 、 $E$ 、 $F$ 三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是 $\frac{1}{5}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ ．求：

(1)、他们都研制出疫苗的概率；

(2)、他们都失败的概率；

(3)、他们能够研制出疫苗的概率．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面 $A B C$ 是正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A C = 2$ ， $∠ A C C_{1} = 60 °$ ，求点 $E$ 到平面 $A F G$ 的距离．

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20. 已知抛物线C₁： $y^{2} = 4 x$ 与椭圆C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）有公共的焦点，C₂的左､右焦点分别为F₁ ， F₂ ，该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C₂的方程；

(2)、如图，若直线l与x轴，椭圆C₂顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF₁Q与∠PF₁R互为补角，求△F₁QR面积S的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x - a l n (x + 1)$ ．

(1)、当a＝3时，求f(x)的单调区间；

(2)、当a＝1时，关于x的不等式 $k x^{2} \geq f (x)$ 在[0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C ： {\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α \end{array}$ ( $α$ 是参数).以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程以及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $P (- 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 4 | + | 2 x |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in R ， f (x) > m (x + 1)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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