吉林省梅河口市2023届高三下学期6月第七次数学模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：高考模拟

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答

1. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot (2 + 3 i) = 3 - 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、0 B、-1 C、 $\sqrt{13}$ D、1

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2. 已知集合 $A = {x ∣ 2 - x > 3} ， B = {x ∣ y = l n (x + 3)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， + ∞)$ B、 $[- 3 ， + ∞)$ C、 $(- 3 ， - 1)$ D、 $[- 3 ， 1)$

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3. 设非零向量 $\vec{m} ， \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 4 ， | \vec{n} | = 2 ， | \vec{m} + \vec{n} | = 3$ ，则 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{11}{8} \vec{m}$ B、 $- \frac{11}{4} \vec{m}$ C、 $- \frac{11}{4} \vec{n}$ D、 $- \frac{11}{8} \vec{n}$

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4. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，若取出的2个数互质，则取出两个数都是奇数的概率为（）

A、 $\frac{3}{14}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点， $F$ 是该双曲线的焦点，且满足 $| A B | = 2 | O F |$ ，若 $△ A B F$ 的面积为 $24 a^{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、5

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6. 若球 $O$ 是正三棱锥 $A - B C D$ 的外接球， $B C = 3 ， A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 在线段 $B A$ 上， $B A = 3 B E$ ，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $2 π$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $π$

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7. 若函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} + a x$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq - 5$ ，则（）

A、 $a \geq 4 \sqrt{2}$ B、 $a \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a \leq - 2 \sqrt{2}$ D、 $a \leq - 4 \sqrt{2}$

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8. 已知 $a = \sqrt{e} + 1 ， b = 1.01 e ， c = e^{1.01}$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是等合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，请仔细审题，认真皕答

9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列说法不成立的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $0 < a < 1$ ，则 $a^{3} < a$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} < \frac{b}{a}$ D、若 $c < b < a$ 且 $a c < 0$ ，则 $c b^{2} < a b^{2}$

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10. 若函数 $f (x) = M s i n (M x + φ) - M (M > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 同时满足以下条件：① $x_{1} ， x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的零点，且 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{2 π}{3}$ ；② $\forall x \in R$ ，有 $f (x + \frac{π}{9}) = f (- x)$ ，则（）

A、 $f (x) = 3 s i n (3 x + \frac{π}{3}) - 3$ B、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的图象解析式为 $y = 3 c o s (3 x + \frac{π}{3}) - 3$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{16} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、直线 $x = \frac{5 π}{18}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴

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11. 已知点 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 与抛物线交于 $A ､ B$ 两点，抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $P$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，则直线 $O A ， O B$ 斜率之积为定值 B、若抛物线上的点 $E (2 ， t)$ 到点 $F$ 的距离为4，则抛物线的方程为 $y^{2} = 4 x$ C、以 $A B$ 为直径的圆与准线相切 D、直线 $m$ 过点 $P$ 且交 $C$ 于不同的 $M ､ N$ 两点，则 $| M F | + | N F | > 2 | P F |$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4 ， O$ 为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）

A、若 $O$ 为线段 $A C$ 上任一点，则 $A_{1} O$ 与 $B C$ 所成角的余弦值范围为 $[0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、若 $O$ 为正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 的中心，则三棱锥 $O - A B D$ 外接球的体积为 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ C、若 $O$ 在正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 内部，且 $| O B | = 2 \sqrt{6}$ ，则点 $O$ 轨迹的长度为 $\sqrt{2} π$ D、若三棱锥 $O - B D C_{1}$ 的体积为 $\frac{32}{3} ， ∠ O D_{1} C = \frac{π}{6}$ 恒成立，点 $O$ 轨迹的为圆的一部分

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请仔细审题，认真做答

13. $(x^{2} + y^{2}) (x + y)^{6}$ 的展开式中， $x^{5} y^{3}$ 的系数为.

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14. 由直线 $x + y + 6 = 0$ 上一点 $P$ 向圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 4$ 引切线，则切线长的最小值为.

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15. 已知函数 $f (x) = m (l n x - 2) + (n + 1) x$ 在区间 $[e^{2} ， e^{4}]$ 上存在零点，则 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为.

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16. 如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设 $A_{n}$ 是第 $n$ 次挖去的小三角形面积之和（如 $A_{1}$ 是第1次挖去的中间小三角形面积， $A_{2}$ 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则 $A_{n} =$ ；若操作 $n$ 次后剩余部分面积不大于原图面积的一半，则 $n$ 的最小值为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分，请仔细审题，认真做答

17. 如图所示，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘} ， D E ∥ B C ， B D = 2 A D = 4$ ， $D E = 1$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ P D E$ 的位置，使平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，点 $M$ 满足 $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ M E$ ；

(2)、求二面角 $E - P B - C$ 的余弦值.

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，分别以 $a ， b ， c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，已知 $S_{1} + S_{2} - S_{3} = \sqrt{3} ， s i n C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $s i n A s i n B = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $c$ .

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19. $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $6 S_{n} = a_{n}^{2} + 3 a_{n} - 4$ ，且 $a_{n} > 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 依次为： $a_{1} ， 3 ， a_{2} ， 3^{2} ， 3^{3} ， a_{3} ， 3^{4} ， 3^{5} ， 3^{6} ， a_{4} ， 3^{7} ， 3^{8} ， 3^{9} ， 3^{10} ⋯$ ，规律是在 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 中间插入 $k (k \in N^{*})$ 项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项的和.

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20. 某学校离三年级开学之初增加早自习，早饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是 $\frac{1}{4}$ ，择餐厅乙就餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是 $\frac{1}{2}$ ，选择餐厅甲就餐的概率也为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 $\frac{1}{2}$ ，择餐厅乙就餐的概率是 $\frac{1}{2}$ ，记某同学第 $n$ 天选择甲餐厅就餐的概率为 $P_{n}$ .

(1)、记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列，并求 $E (X)$ ；

(2)、请写出 $P_{n} (n \in N^{*})$ 的通项公式；

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $(0 ， 1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ .椭圆 $E$ 的左､右顶点分别为 $A ， B ， P$ 为椭圆 $E$ 上异于 $A ， B$ 的动点， $P B$ 交直线 $x = 4$ 于点 $T ， A T$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $Q$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、直线 $P Q$ 是否过 $x$ 轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由.

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22. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{x^{a}}{a^{x}} (x > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = 1$ 恰有一个交点，求 $a$ 取值范围.

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