江西省九江市湖口县2022-2023学年高二数学下学期期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 若函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 f^{'} (1) l n x + 2 x$ ，则 $f (e) =$ （）

A、0 B、-1 C、-2 D、 $- 4 + 2 e$

查看试题解析
2. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{9} = 18 ， S_{n} = 240 ， a_{n - 4} = 30$ ，则n的值为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

查看试题解析
3. 在递增等比数列 ${a_{n}}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $6 a_{7}$ 是 $a_{8}$ 和 $a_{9}$ 的等差中项，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、28 B、20 C、18 D、12

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = x^{2} l n x$ 的单调递增区间为（）

A、 $(0 ， \sqrt{e})$ B、 $(\frac{\sqrt{e}}{e} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{e} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{e}}{e})$

查看试题解析
5. 某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（）种不同的排法

A、24 B、144 C、48 D、96

查看试题解析
6. 对于函数 $f (x)$ ，定义满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ 的实数 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点，设 $f (x) = l o g_{a} x$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若 $f (x)$ 有且仅有一个不动点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a < 1$ 或 $a = \sqrt{e}$ B、 $1 < a < \sqrt{e}$ C、 $0 < a < 1$ 或 $a = e^{\frac{1}{e}}$ D、 $0 < a < 1$

查看试题解析
7. 斐波那契数列是意大利数学家斐波那契在撰写《算盘全书》(LiberAbacci)一书中研究的一个著名数列 $1$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $5$ ， $8$ ， $13$ ， $21$ ， $34$ ， $⋯$ ，该数列是数学史中非常重要的一个数列．它与生活中许多现象息息相关，如松果、凤梨、树叶的排列符合该数列的规律，与杨辉三角，黄金分割比等知识的关系也相当密切．已知该数列满足如下规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和，根据这个递推关系，令该数列为 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 2$ ，若 $S_{2021} = t$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $t$ B、 $t^{2} + 1$ C、 $2 t$ D、 $t + 1$

查看试题解析
8. 设奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 的图象是连续不间断， $\forall x \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，有 $f^{'} (x) \cos x - f (x) \sin x < 0$ ，若 $f (t) \cos t < \frac{1}{2} f (\frac{π}{3})$ ，则 $t$ 的取值范围是（）．

A、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{3})$ B、 $(0 ， \frac{π}{3})$ C、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3})$ D、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$

查看试题解析

二、多选题（每题5分，共20分）

9. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出 $n (1 \leq n \leq 6 ， n \in N *)$ 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球的个数为 $Y$ ，则随着 $n (1 \leq n \leq 6 ， n \in N *)$ 的增加，下列说法正确的是（）

A、 $E (Y)$ 增加 B、 $E (Y)$ 减小 C、 $D (Y)$ 增加 D、 $D (Y)$ 减小

查看试题解析
10. 下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (1) = 1 ，$ 则函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线斜率为 $1$ B、函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在区间 $[5 ， 20]$ 上存在增区间，则 $k < 160$ C、函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 1$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上有极值点，则 $2 \leq a \leq \frac{5}{2}$ D、若任意 $0 < a < b < t$ ，都有 $b l n a < a l n b$ ，则有实数 $t$ 的最大值为 $e$

查看试题解析
11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 + 3 a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 ${\frac{1}{a_{n}} + 3}$ 为等比数列 B、 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1} - 3}$ C、 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n} = 2^{n + 2} - 3 n - 4$

查看试题解析
12. 若函数 $y = f (x)$ 在定义域内给定区间 $[a ， b]$ 上存在 $x_{0} (a < x_{0} < b)$ ，使得 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a ， b]$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的平均值点．若函数 $y = \frac{x}{e^{x}} + m$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上有两个不同的平均值点，则m的取值不可能是（）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{e^{2}}$ C、 $- \frac{3}{2 e^{2}}$ D、 $- \frac{1}{e^{2}}$

查看试题解析

三、填空题（共20分）

13. 函数 $f (x) = x - \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

查看试题解析
14. 已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n} - 4}{a_{n} - 2}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

查看试题解析
15. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表， $D (ξ)$ 表示 $ξ$ 的方差，则 $D (2 ξ + 1) =$ ．

$ξ$

0

1

2

P

a

$1 - 2 a$

$\frac{1}{4}$

查看试题解析
16. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $l n (x y)^{y} = e^{x}$ ，则 $x^{2} y - l n x - x$ 的最小值为.

查看试题解析

四、解答题（共70分）

17. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = a_{n + 1} - 1 ， n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = (- 1)^{n} (a_{n} - 1)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．

查看试题解析

18. 某调查机构为了解人们对某个产品的使用情况是否与性别有关，在网上进行了问卷调查，在调查结果中随机抽取了

50

份进行统计，得到如下

2 \times 2

列联表：

	男性	女性	合计
使用	15	5	20
不使用	10	20	30
合计	25	25	50

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k)$	0.010	0.005	0.001
$k$	6.635	7.879	10.828

(1)、请根据调查结果分析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；

(2)、在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取

6

人，再从这

6

人中随机抽取

2

人参加某项活动，记被抽中参加该项活动的女性人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望．

查看试题解析

19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $B C ， C D$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值：

(2)、若 $g (x) = f (x) - a$ ，讨论函数 $g (x)$ 的零点个数．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ .直线 $l ： y = \frac{1}{2} (x + 2)$ 交椭圆 $C$ 于不同的两点 $A ， B$ ，

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆左焦点为 $F_{1}$ ，求 $△ F_{1} A B$ 的面积.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} ， g (x) = a (x^{2} - x) (a \in R)$ .

(1)、在当 $a = - 1$ 时，分别求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 过点 $(0 ， 0)$ 的切线方程；

(2)、若 $f (x) + g (x) - c o s x \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析

$ξ$	0	1	2
P	a	$1 - 2 a$	$\frac{1}{4}$