江西省九江市湖口县2022-2023学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：期中考试

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一、单选题（每题5分，共40分）

1. 复数 $z$ 的实部为 $1$ ，且 $| z - i | = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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2. 若 $α$ 是第四象限角，则 $π - α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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3. 下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（）

A、空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱 B、有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面 C、以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥 D、底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心

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4. 已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若 $2 (c o s A c o s B + c o s C) = \sqrt{3} s i n B$ ， $a = \sqrt{7}$ ， $b c = 6$ ，则 $b + c =$ （）

A、9 B、8 C、5 D、4

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5. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $A D = B D = 2 C D ， 3 \tan^{2} B - 2 \tan A + 3 = 0$ ，则 $∠ B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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6. 下列各式中不能化简为 $\vec{A D}$ 的是（）

A、 $- (\vec{C B} + \vec{M C}) - (\vec{D A} + \vec{B M})$ B、 $- \vec{B M} - \vec{D A} + \vec{M B}$ C、 $(\vec{A B} - \vec{D C}) - \vec{C B}$ D、 $\vec{A D} - (\vec{C D} + \vec{D C})$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 6 0^{°}$ ， $| \overset{⇀}{A B} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{C A} | = 1$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{C A}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 设 $f (x) = s i n x$ .若对任意 $x_{1} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都存在 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) - 2 f (x_{2} + θ) = - 1$ ，则 $θ$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{5}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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二、多选题（每题5分，共20分）

9. 与 $\vec{a} = (3 ， 4)$ 垂直的单位向量是（）

A、 $(\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ B、 $(- \frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ C、 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$

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10. 下列命题中错误的是（）

A、若复数 $z_{1}$ 满足 $z_{1}^{2} + 1 = 0$ ，则 $z_{1} = i$ B、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ C、若复数 $z = a + b i$ ，则z为纯虚数的充要条件是 $a = 0$ D、若复数 $| z_{1} + z_{2} | = 0$ ，则 $z_{1} = - z_{2}$

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11. 下列结论正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、在锐角三角形 $A B C$ 中，不等式 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a \cos B - b \cos A = c$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $b = 3 ， A = 60 °$ ，三角形面积 $S = 3 \sqrt{3}$ ，则三角形的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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12. 如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $θ (θ \neq \frac{π}{2})$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 反射坐标系．在 $θ$ 反射坐标系中，若 $\vec{O M} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x ， y)$ 称为向量 $\vec{O M}$ 的反射坐标，记为 $\vec{O M} = (x ， y)$ ．在 $θ = \frac{2 π}{3}$ 的反射坐标系中， $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，其中正确的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} = (- 1 ， 3)$ B、 $| \vec{a} | = \sqrt{5}$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $| \vec{b} | = \sqrt{7}$

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三、填空题（共20分）

13. 若函数 $f (x) = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ ， $g (x) = - \frac{1}{x - 2}$ ，则 $f (x) + g (x) =$ .

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14. 设函数 $f (x) = s i n \frac{π}{3} x$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2015) =$ .

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15. 已知向量 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2} ， \vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} (x ､ y \in R ， y \geq 0)$ ，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是.
①若 $x = 1$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；

②若 $x = 1$ ，则存在唯一的 $y$ ，使得 $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ ；

③若 $| \vec{c} | = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为 $- 1$ ；

④若 $| \vec{c} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$ .

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16. 已知 $| \vec{O A} | = 6$ ， $| \vec{O E} | = 3$ ，若对 $\forall t \in R$ ，恒有 $| \vec{O A} - t \vec{O E} | \geq | \vec{A E} |$ ，且点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O E} + \frac{1}{3} \vec{O A}$ ， $N$ 为 $O A$ 的中点，则 $| \vec{M N} | =$ ．

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四、解答题（共70分）

17. 已知 $f (a) = \frac{c o s (\frac{π}{2} + α) \cdot c o s (2 π - α) \cdot s i n (- α + \frac{3 π}{2})}{s i n (- π - α) \cdot s i n (\frac{3 π}{2} + α)}$ ．

(1)、化简 $f (a)$ ；

(2)、若 $α$ 是第三象限角，且 $c o s (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求 $f (a)$ 的值．

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18. 已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - 3 i m + 2 i - 1$ .

(1)、当实数 $m$ 为何值时，复数 $z$ 为纯虚数；

(2)、当实数 $m$ 为何值时，复数 $z$ 表示的点位于第四象限.

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19. 设向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的坐标为 $\vec{a} = (s i n x ， \sqrt{3} c o s x) ， \vec{b} = (c o s x ， c o s x)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $s i n x c o s x$ 的值；

(2)、若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $f (x)$ 的对称轴方程和 $f (\frac{π}{24})$ 的值.

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20. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， $b = 1$ ， $c o s^{2} A - c o s^{2} B + c o s^{2} C = 1$ ．

(1)、求△ABC面积的最大值；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 的取值范围．

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21. 在三角形 $A B C$ 中，已知a ， b ， c分别为角A ， B ， C的对边， $A = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、若 $c = 2$ ， $， B = \frac{π}{4}$ ， $A D$ 平分角A交 $B C$ 于D ，求 $A D$ 的长；

(2)、若b ， c为函数 $f (x) = x^{2} - \sqrt{10} x + 1$ 的两个不同的零点，求 $B C$ 边上的高.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \sin (ω x + φ)$ $(0 < ω < \frac{π}{2}, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $A (0, \sqrt{6})$ ， $C (\frac{8}{3}$ ， $0)$ ．

(1)、求 $ω$ ， $φ$ 的值；

(2)、若 $f (θ) = \frac{8 \sqrt{2}}{5}$ ，且 $θ \in (- \frac{10}{3}, \frac{2}{3})$ ，求 $f (θ - 1)$ 的值；

(3)、若 $f (x) - m < 0$ 在 $x \in [- 4, \frac{1}{3}]$ 上恒成立，求实数m的取值范围.

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