山东省德州市2022-2023学年高一下学期6月数学阶段测试试卷

试卷更新日期：2023-06-26 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 若复数 $z = i^{2022} + \frac{| 3 + 4 i |}{3 - 4 i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{2}{5} i$

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $b =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 已知l值直线， $α$ ， $β$ 是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）

A、若 $l ∥ α$ ， $l ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l ∥ α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $l ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l ∥ β$

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5. 下列各式化简结果为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $1 - 2 c o s^{2} 75 °$ B、 $s i n 15 ° c o s 15 °$ C、 $s i n 14 ° c o s 16 ° + s i n 76 ° c o s 74 °$ D、 $t a n 20 ° + t a n 25 ° + t a n 20 ° t a n 25 °$

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6. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，棱柱的侧面均为矩形， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $c o s ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ， P是 $A_{1} B$ 上的一动点，则 $A P + P C_{1}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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7. 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$

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8. 已知 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n w x c o s w x + 2 c o s^{2} w x$ ，（ $w > 0$ ），若函数在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 内存不住对称轴，则w的范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{3} ， \frac{3}{4}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3} ， \frac{3}{4}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{3} ， \frac{2}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3} ， \frac{5}{6}]$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在 $△ A B C$ 中，若 $(a + b) ： (a + c) ： (b + c) = 9 ： 10 ： 11$ ，下列结论中正确的有（）

A、 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 4 ： 5 ： 6$ B、 $△ A B C$ 时钝角三角形 C、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的2倍 D、若 $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$

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10. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）

A、圆锥的母线长为 9 B、圆锥的表面积为 $36 π$ C、圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60° D、圆锥的体积为 $12 \sqrt{2} π$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E$ ， $F$ ，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A C ⊥ A F$ B、 $E F ∥$ 平面 $A B C D$ C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、 $△ A E F$ 的面积与 $△ B E F$ 的面积相等

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B C_{1}$ 上运动时，下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变 B、直线CP与直线 $A D_{1}$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ C、直线AP与平面 $A C D_{1}$ 所成角的大小不变 D、二面角 $P - A D_{1} - C$ 的大小不变

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 函数 $y = t a n (\frac{π}{5} - \frac{x}{3})$ 的最小正周期为．

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14. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 $A = 60 °$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a - b - c}{s i n A - s i n B - s i n C} =$ ．

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为6，且 $P A = 2 P B = 3 P C = 6$ ．则该三棱锥外接球的表面积为．

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16. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P是半圆O上一点（包括端点A，D），则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在圆内接四边形ABCD中， $∠ B = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求AC；

(2)、求 $∠ A C D$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 5)$ ， $\vec{c} = 2 \vec{a} + t \vec{b} (t \in R)$ ．

(1)、若 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求t的值；

(2)、若 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为锐角，求t的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $P A ⊥ A B$ ，点E是PB的中点．

(1)、求证： $P D ∥$ 平面EAC；

(2)、若 $P C = A D = 2$ ， $P A = A B = 1$ ， $∠ A P C = \frac{π}{3}$ ，求点P到平面AEC的距离．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A B = B C = 2$ ， E为线段 $A B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B E C_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $E C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正切值．

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21. 如图所求扇形OPQ的半径为1，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ， C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记 $∠ C O P = α$ ．

(1)、当 $A B = \sqrt{3} B C$ 时，求 $t a n 2 α$ 的值；

(2)、记矩形ABCD的面积为 $f (α)$ ，求 $f (α)$ 最大值，并求此时 $α$ 的值．

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22. 如图，在三棱柱 $A D P - B C Q$ 中，侧面ABCD为矩形．

(1)、设M为AD中点，点N在线段PC上且 $N C = 2 P N$ ，求证： $P M ∥$ 平面BDN；

(2)、若二面角 $Q - B C - D$ 的大小为 $θ$ ， $θ \in [\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{6}]$ ，且 $A D = | c o s θ | A B$ ，求直线BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范围．

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