广东省深圳市龙岗区八年级2022-2023学年下册数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a > b$ ，则下列式子一定成立的是（）

A、 $a + 1 < b + 2$ B、 $a - 2 > b - 2$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$

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3. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（）

A、 $x > - 1$ B、 $- 1 < x \leq 2$ C、 $- 1 \leq x < 2$ D、 $x > - 1$ 或 $x \leq 2$

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4. 四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13.其中直角三角形是（）

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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5. 已知点 $A (2 - a ， a + 1)$ 在第四象限，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < - 1$ B、 $- 1 < a < 2$ C、 $a < 2$ D、 $a < 1$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $M N / / B C$ 交 $A B$ 于 $M$ ，交 $A C$ 于 $N$ ，若 $B M + C N = 9$ ，则线段 $M N$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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7. 若不等式组 ${\begin{array}{l} x + 5 < 5 x + 1 \\ x - m > 0 \end{array}$ 的解集是 $x > 1$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \geq 0$ D、 $m \leq 0$

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8. 如图， $R t △ A B C$ 沿直角边 $B C$ 所在的直线向右平移得到 $△ D E F$ ，下列结论中错误的是（）

A、 $Δ A B C$ ≌ $Δ D E F$ B、 $∠ D E F = 90 °$ C、 $A C = D F$ D、 $E C = C F$

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9. 如图， $P$ 是正 $△ A B C$ 内的一点，若将 $△ P B C$ 绕点 $B$ 旋转到 $△ P' B A$ ，则 $∠ P B P'$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 8 c m$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，交边 $A C$ 于点 $E$ ， $△ B C E$ 的周长等于 $18 c m$ ，则 $A C$ 的长等于 $c m$ ．

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13. 如图，已知函数 $y = x + 1$ 和 $y = a x + 3$ 的图象交于点 $P$ ，点 $P$ 的横坐标为 $1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $x + 1 \geq a x + 3$ 的解集是．

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14. 如图，将线段 $A B$ 平移到线段 $C D$ 的位置，则 $a + b$ 的值为．

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15. 如图， $R t △ A B C$ 的两直角边 $A B$ ， $B C$ 长分别为 $6$ ， $8$ ，其三条角平分线交于点 $O$ ，将 $△ A B C$ 分为三个三角形，则 $S_{△ A B O}$ ： $S_{△ B C O}$ ： $S_{△ C A O} =$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解不等式： $\frac{x + 1}{2} + \frac{x - 1}{3} \leq 1$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x < 1 + 4 x \\ \frac{1 - x}{2} - 1 \geq \frac{x + 4}{3} \end{array}$ ．

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18. 如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C < B C$ ， $D$ 为 $B C$ 上一点，且到 $A$ 、 $B$ 两点的距离相等．

(1)、用直尺和圆规，作出点 $D$ 的位置 $($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、连结 $A D$ ，若 $∠ B = 32 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数．

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19. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上，且 $D E / / A B$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求 $∠ F$ 的度数；

(2)、若 $C D = 2$ ，求 $D E$ 的长．

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20. $△ A B C$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中的位置如图所示，小正方形的边长为 $1$ 个单位．
⑴作 $△ A B C$ 关于点 $C$ 成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．
⑵将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向右平移 $4$ 个单位，作出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．
⑶在 $x$ 轴上求作一点 $P$ ，使 $P A_{1} + P C_{2}$ 的值最小，求经过点 $P$ 和点 $C_{2}$ 的一次函数关系式，并求出点 $P$ 的坐标．

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21. 某商店销售 $10$ 台 $A$ 型和 $20$ 台 $B$ 型电脑的利润为 $4000$ 元，销售 $20$ 台 $A$ 型和 $10$ 台 $B$ 型电脑的利润为 $3500$ 元．

(1)、求每台 $A$ 型电脑和 $B$ 型电脑的销售利润各多少元；

(2)、该商店计划一次购进两种型号的电脑共 $100$ 台，其中 $B$ 型电脑的进货量不超过 $A$ 型电脑的 $2$ 倍，设购进 $A$ 型电脑 $a$ 台，这 $100$ 台电脑的销售总利润为 $w$ 元．
①求关于 $a$ 的函数关系式；
②该商店购进 $A$ 型、 $B$ 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

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22. 已知 $△ A O B$ 和 $△ M O N$ 都是等腰直角三角形， $∠ A O B = ∠ M O N = 90 °$ ．

(1)、如图 $1$ ：连 $A M$ ， $B N$ ，求证： $△ A O M$ ≌ $△ B O N$ ；

(2)、若将 $R t △ M O N$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 恰好在同一条直线上时，如图 $2$ 所示，线段 $O H / / B N$ ， $O H$ 与 $A M$ 交点为 $H$ ，若 $O B = 4$ ， $O N = 3$ ，求出线段 $A M$ 的长；

(3)、若将 $△ M O N$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，当点 $N$ 恰好落在 $A B$ 边上时，如图 $3$ 所示， $M N$ 与 $A O$ 交点为 $P$ ，求证： $M P^{2} + P N^{2} = 2 P O^{2}$ ．

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