浙江省杭州市拱墅区重点中学2022-2023学年八年级下册数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 $(x - 3)^{2} = 2$ B、 $(x + 3)^{2} = 2$ C、 $(x - 3)^{2} = 16$ D、 $(x + 3)^{2} = 16$

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4. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 $60 °$ ”时，首先应该假设（）

A、三角形中每个内角都大于 $60 °$ B、三角形中至少有一个内角大于 $60 °$ C、三角形中每个内角都大于或等于 $60 °$ D、三角形中每一个内角都小于成等于 $60 °$

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5. 若样本 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $⋯$ ， $x_{n}$ 的平均数为 $8$ ，方差为 $4$ ，则对于样本 $x_{1} - 3$ ， $x_{2} - 3$ ， $x_{3} - 3$ ， $x_{n} - 3$ ，下列结论正确的是（）

A、平均数为 $8$ ，方差为 $1$ B、平均数为 $5$ ，方差为 $1$ C、中位数变小，方差不变 D、众数不变，方差为 $4$

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6. 如图，四边形 $E G F H$ 的四个顶点分别在矩形 $A B C D$ 的边和对角线上，已知 $A G = C H$ ，下列条件能使四边形 $E G F H$ 是平行四边形的是（）

A、 $F H = G E$ B、 $D F = F C$ C、 $D F = B E$ D、 $F G = F H$

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7. 杭州地铁 $3$ 号线于2022年2月21日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了1482种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有 $x$ 个站点，根据题意下面列出的方程正确的是（）

A、 $x (x + 1) = 1482$ B、 $x (x - 1) = 1482$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 1482$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 1482$

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8. 如图，小明在作线段 $A B$ 的垂直平分线时，进行了如下操作：
$①$ 分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ， $D$ ；
$②$ 作直线 $C D .$ 根据小明的作图步骤可知四边形 $A D B C$ 的形状一定是（）

A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形

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9. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的周长是 $36 c m$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C ⊥ A B$ ， $E$ 是 $B C$ 中点， $△ A O D$ 的周长比 $△ A O B$ 的周长多 $2 c m$ ，则 $A E$ 的长度为（）

A、 $3 c m$ B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $8 c m$

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10. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若 $a + b + c = 0$ ，则方程必有一根为 $x = 1$ ；
$②$ 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无实根；
$③$ 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且满足 $x_{1} \neq x_{2} \neq 0$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0 (c \neq 0)$ ，必有实根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ；
$④$ 若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ．
其中正确的（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ③ ④$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若二次根式 $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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12. 甲、乙、丙、丁四名学生最近 $4$ 次数学考试平均分都是 $112$ 分，方差 $S_{甲}^{2} = 2.2$ ， $S_{乙}^{2} = 6.6$ ， $S_{丙}^{2} = 7.4$ ， $S_{丁}^{2} = 10.8$ ，则这四名学生的数学成绩最稳定的是．

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13. 若a是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的一个根，则 $2 a^{2} + 4 a$ 的值是．

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14. 如图， $△ A B C$ 的周长为 $a$ ，以它的各边的中点为顶点作 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，再以 $△ A B_{1} C_{1}$ 各边的中点为顶点作 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，再以 $A B_{2} C_{2}$ 各边的中点为顶点作 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ， $\dots$ 如此下去，则 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的周长为．

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15. 如图，已知 $△ A B C$ 的面积为 $24$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上，且 $B F = 4 C F$ ，四边形 $D C F E$ 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点，点 $F$ 在边 $B C$ 上，且 $∠ B A E = ∠ A E F .$ 则 $∠ F A E =$ ， $\frac{B F}{C F} =$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^{2} + (\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $4 x^{2} = 12 x$ ；

(2)、 $\frac{3}{4} x^{2} - 2 x - \frac{1}{2} = 0$ ．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E$ ， $B F$ 分别平分 $∠ D A B$ 和 $∠ A B C$ ，交边 $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ，线段 $A E$ ， $B F$ 相交于点 $M$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ B F$ ；

(2)、若 $4 E F = A D = 8$ ，求 $A B$ 的长．

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20. 在学校举办的“读书月”活动中，八年级 $(3)$ 班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、这次调查获取的样本数据的众数为元，中位数为元；

(2)、计算这次调查获取的样本数据的平均数；

(3)、若该校八年级共有学生 $200$ 人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上，点 $F$ 在 $B D$ 的延长线上，且 $D E = D F$ ，连接 $A E$ ， $C E$ ， $A F$ ， $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、若 $B A ⊥ A F$ ， $A D = 8$ ， $B C = 8 \sqrt{5}$ ，求 $B D$ 和 $A E$ 的长．

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22. 如图 $1$ ，用篱笆靠墙围成矩形花圃 $A B C D$ ，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为 $15 m$ ，篱笆长为 $24 m$ ，设平行于墙的 $B C$ 边长为 $x m$ ．

(1)、若围成的花圃面积为 $40 m^{2}$ 时，求 $B C$ 的长；

(2)、如图 $2$ ，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为 $50 m^{2}$ ，请你判断能否围成花圃，如果能，求 $B C$ 的长；如果不能，请说明理由．

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23. 如图，有一张矩形纸条 $A B C D$ ， $A B = 5 c m$ ， $B C = 2 c m$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $A B$ ， $C D$ 上， $C N = 1 c m .$ 现将四边形 $B C N M$ 沿 $M N$ 折叠，使点 $B$ ， $C$ 分别落在点 $B'$ ， $C'$ 上．

(1)、当点 $B'$ 恰好落在边 $C D$ 上时，
$①$ 证明： $△ B' M N$ 是等腰三角形；
$②$ 求线段 $B M$ 的长；

(2)、点 $M$ 从点 $A$ 向点 $B$ 运动的过程中，若边线段 $M B'$ 与边 $C D$ 交于点 $E$ ，
$①$ 求此运动过程中， $D E$ 的最大值；
$②$ 请直接写出点 $E$ 相应运动的路径长．

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