甘肃省白银市会宁县2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-06-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 37$ 的相反数是（）

A、 $- 37$ B、37 C、 $- \frac{1}{37}$ D、 $\frac{1}{37}$

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2. 如图，直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O$ ；若 $∠ 1 = 30^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、30° B、40° C、60° D、150°

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3. 计算： $2 x \cdot (- 3 x^{2} y^{3}) =$ （）

A、 $6 x^{3} y^{3}$ B、 $- 6 x^{2} y^{3}$ C、 $- 6 x^{3} y^{3}$ D、 $18 x^{3} y^{3}$

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4. 在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，若 $△ A O B$ 的面积为2，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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5. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，若 $B D = 2 C D = 6$ ， $t a n ∠ C = 2$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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6. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙ $O ， ∠ C = 46 °$ ，连接 $O A$ ，则 $∠ O A B =$ （）

A、 $44 °$ B、 $45 °$ C、 $54 °$ D、 $67 °$

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7. 如图，已如抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 开口向上，与 $x$ 轴的一个交点为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x$ $= 1$ .下列结论错误的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $b^{2} > 4 a c$ C、 $4 a + 2 b + c > 0$ D、 $2 a + b = 0$

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二、填空题

8. 计算： $3 - \sqrt{25} =$ .

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9. 已知关于x、y的方程 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 2 a + 1 \\ x + 2 y = 5 - 5 a \end{array}$ 的解满足 $x + y = - 3$ ，则a的值为.

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10. 如果不等式 $(a + 1) x < a + 1$ 的解集为 $x > 1$ ，那么 $a$ 必须满足．

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11. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做 $E F$ 将矩形窗框 $A B C D$ 分为上下两部分，其中E为边 $A B$ 的黄金分割点，即 $B E^{2} = A E \cdot A B$ .已知 $A B$ 为2米，则线段 $B E$ 的长为米.

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12. 如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且 $A B = B C$ ，连接OA.已知 $△ O A C$ 的面积为12，则k的值为.

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B D = 7$ .若M、N分别是边 $A D 、 B C$ 上的动点，且 $A M = B N$ ，作 $M E ⊥ B D ， N F ⊥ B D$ ，垂足分别为E、F，则 $M E + N F$ 的值为.

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三、解答题

14. 计算： $5 \times (- 3) + | - \sqrt{6} | - {(\frac{1}{7})}^{0}$ .

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15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} < \frac{x}{3} ， & ① \\ 2 x - 5 \leq 3 (x - 2) . & ② \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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16. 化简： $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} \div \frac{x^{2} + 3 x}{x + 2} - \frac{3}{x}$ .

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17. 如图，已知 $△ A B C ， C A = C B ， ∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的一个外角.请用尺规作图法，求作射线 $C P$ ，使 $C P ∥ A B$ .（保留作图痕迹，不写作法）

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18. 如图，△ $A B C$ 是等边三角形， $D 、 E$ 在直线 $B C$ 上， $D B = E C$ .

求证： $∠ D = ∠ E$ .

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19. 如图， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 3) ， B (- 3 ， 0) ， C (- 1 ， - 1)$ .将 $△ A B C$ 平移后得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且点A的对应点是 $A^{'} (2 ， 3)$ ，点B、C的对应点分别是 $B^{'} ， C^{'}$ .

(1)、点A、 $A^{'}$ 之间的距离是；

(2)、请在图中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

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20. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A.云顶滑雪公园、B.国家跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、D.国家冬季两项中心.小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.

(1)、小明被分配到D.国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？

(2)、利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率.

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21. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $(4 ， 3)$ ， $(- 2 ， 0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

(1)、求该函数的解析式及点 $A$ 的坐标；

(2)、当 $x > 0$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = x + n$ 的值大于函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的值，直接写出 $n$ 的取值范围．

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23. 某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A
$t < 60$
8
50
B
$60 \leq t < 90$
16
75
C
$90 \leq t < 120$
40
105
D
$t \geq 120$
36
150
根据上述信息，解答下列问题：

(1)、这100名学生的“劳动时间”的中位数落在组；

(2)、求这100名学生的平均“劳动时间”；

(3)、若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数.

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24. 如图， $⊙ O$ 与等边 $△ A B C$ 的边 $A C$ ， $A B$ 分别交于点D，E， $A E$ 是直径，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点F.

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $E F$ ，当 $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线时，求 $⊙ O$ 的半径r与等边 $△ A B C$ 的边长a之间的数量关系.

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25. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 $O E$ 表示水平的路面，以O为坐标原点，以 $O E$ 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求： $O E = 10 m$ ，该抛物线的顶点P到 $O E$ 的距离为 $9 m$ .

(1)、求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)、现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到 $O E$ 的距离均为 $6 m$ ，求点A、B的坐标.

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26. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证 $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ .小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明 $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ .

(1)、尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明 $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ ；

(2)、应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；

②若BC＝m，∠AED＝ $α$ ，求DE的长（用含m， $α$ 的式子表示）.

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组别	“劳动时间”t/分钟	频数	组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A	$t < 60$	8	50
B	$60 \leq t < 90$	16	75
C	$90 \leq t < 120$	40	105
D	$t \geq 120$	36	150