湖南省永州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“ $+ 30$ ”，则“ $- 30$ ”表示（）

A、运出30吨粮食 B、亏损30吨粮食 C、卖掉30吨粮食 D、吃掉30吨粮食

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2. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列多边形中，内角和等于 $360 °$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于x的一元一次方程 $2 x + m = 5$ 的解为 $x = 1$ ，则m的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、7 D、 $- 7$

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5. 下列各式计算结果正确的是（）

A、 $3 x + 2 x = 5 x^{2}$ B、 $\sqrt{9} = \pm 3$ C、 ${(2 x)}^{2} = 2 x^{2}$ D、 $2^{- 1} = \frac{1}{2}$

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6. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某县 $2020$ 年人均可支配收入为 $2.36$ 万元， $2022$ 年达到 $2.7$ 万元，若 $2020$ 年至 $2022$ 年间每年人均可支配收入的增长率都为 $x$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $2.7 {(1 + x)}^{2} = 2.36$ B、 $2.36 {(1 + x)}^{2} = 2.7$ C、 $2.7 {(1 - x)}^{2} = 2.36$ D、 $2.36 {(1 - x)}^{2} = 2.7$

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8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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9. 已知点 $M (2 ， a)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，其中a，k为常数，且 $k > 0$ ﹐则点M一定在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以 $B$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的定长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $B C = B E$ B、 $C D = D E$ C、 $B D = A D$ D、 $B D$ 一定经过 $△ A B C$ 的内心

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二、填空题

11. $- 0.5$ ， 3， $- 2$ 三个数中最小的数为．

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12. $2 a^{2}$ 与 $4 a b$ 的公因式为．

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13. 已知x为正整数，写出一个使 $\sqrt{x - 3}$ 在实数的范围内没有意义的x值是．

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14. 甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为 $1.72 m$ ，甲队队员身高的方差为 $1.2$ ，乙队队员身高的方差为 $5.6$ ，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择队较好．

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15. 如图， $A B ∥ C D ， B C ∥ E D ， ∠ B = 80 °$ ，则 $∠ D =$ 度．

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16. 若关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 4} - \frac{m}{4 - x} = 1$ （m为常数）有增根，则增根是．

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17. 已知扇形的半径为6，面积为 $6 π$ ，则扇形圆心角的度数为度．

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18. 如图， $⊙ O$ 是一个盛有水的容器的横截面， $⊙ O$ 的半径为 $10 c m$ ．水的最深处到水面 $A B$ 的距离为 $4 c m$ ，则水面 $A B$ 的宽度为 $c m$ ．

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三、解答题

19. 解关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 2 > 0 \\ 3 (x - 1) - 7 < - 2 x \end{array}$

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20. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ .

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21. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，其对角线相交于点O， $O A = 3 ， B D = 8 ， A B = 5$ ．

(1)、 $△ A O B$ 是直角三角形吗？请说明理由；

(2)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

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22. 今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防漏水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组 $(60 \leq x < 70)$ 、2组 $(70 \leq x < 80)$ 、3组 $(80 \leq x < 90)$ 、4组 $(90 \leq x < 100)$ ，并绘制如下图所示频数分布图

(1)、 $n =$ ；所抽取的n名学生成绩的中位数在第组；

(2)、若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为；

(3)、试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．

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23. 永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段 $A B$ 代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面 $B N$ 上D处为陈树湘雕拍照，相机支架 $C D$ 高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为 $45 °$ ，然后将相机架移到 $M N$ 处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为 $30 °$ ，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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24. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：

时间t（单位：分钟）	1	2	3	4	5	…
总水量y（单位：毫升）	7	12	17	22	27	…

(1)、探究：根据上表中的数据，请判断

y = \frac{k}{t}

和

y = k t + b

（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式；

(2)、应用：

①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升?

②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．

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25. 如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，延长 $B C$ 到点D．使得 $∠ B A C = ∠ B D A$ ，点E在 $D A$ 的延长线上，点 $A M$ 在线段 $A C$ 上， $C E$ 交 $B M$ 于N， $C E$ 交 $A B$ 于G．

(1)、求证： $E D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = \sqrt{6} ， B D = 5 ， A C > C D$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、若 $D E \cdot A M = A C \cdot A D$ ，求证： $B M ⊥ C E$ ．

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26. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数）经过点 $F (0 ， 5)$ ，顶点坐标为 $(2 ， 9)$ ，点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 为抛物线上的动点， $P H ⊥ x$ 轴于H，且 $x_{1} ≥ \frac{5}{2}$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，直线 $O P ： y = \frac{y_{1}}{x_{1}} x$ 交 $B F$ 于点 $G$ ，求 $\frac{S_{△ B P G}}{S_{△ B O G}}$ 的最大值；

(3)、如图2，四边形 $O B M F$ 为正方形， $P A$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ， $B C$ 交 $F M$ 的延长线于 $C$ ，且 $B C ⊥ B E ， P H = F C$ ，求点 $P$ 的横坐标．

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