湖南省衡阳市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作 $+ 500$ 元，则支出237元记作（）

A、 $+ 237$ 元 B、 $- 237$ 元 C、0元 D、 $- 474$ 元

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2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A、 $1 c m ， 2 c m ， 3 c m$ B、 $3 c m ， 8 c m ， 5 c m$ C、 $4 c m ， 5 c m ， 10 c m$ D、 $4 c m ， 5 c m ， 6 c m$

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3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 计算 ${(\frac{1}{2} x^{3})}^{2}$ 的结果正确的是（）

A、 $x^{6}$ B、 $\frac{1}{4} x^{6}$ C、 $\frac{1}{4} x^{5}$ D、 $x^{9}$

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6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）

A、 $7.358 \times 1 0^{7}$ B、 $7.358 \times 1 0^{3}$ C、 $7358 \times 1 0^{4}$ D、 $7.358 \times 1 0^{6}$

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7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ ．该运算法则成立的条件是（）

A、 $a > 0 ， b > 0$ B、 $a < 0 ， b < 0$ C、 $a \leq 0 ， b \leq 0$ D、 $a \geq 0 ， b \geq 0$

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8. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A、AB＝CD B、AB∥CD C、∠A＝∠C D、BC＝AD

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9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 35 ， \\ 4 x + 2 y = 94 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 94 ， \\ 4 x + 2 y = 35 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 35 ， \\ 2 x + 4 y = 94 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 94 ， \\ 2 x + 4 y = 35 \end{array}$

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10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为 $S_{甲}^{2}$ 和 $S_{乙}^{2}$ ，则 $S_{甲}^{2}$ 与 $S_{乙}^{2}$ 的大小关系是（）
测试次数
1
2
3
4
5
甲
5
10
9
3
8
乙
8
6
8
6
7

A、 $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$ B、 $S_{甲}^{2} < S_{乙}^{2}$ C、 $S_{甲}^{2} = S_{乙}^{2}$ D、无法确定

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11. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 $60 °$ ”．假设三角形没有一个内角小于或等于 $60 °$ ，即三个内角都大于 $60 °$ ．则三角形的三个内角的和大于 $180 °$ ，这与“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 $60 °$ ．上述推理使用的证明方法是（）

A、反证法 B、比较法 C、综合法 D、分析法

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12. 已知 $m > n > 0$ ，若关于x的方程 $x^{2} + 2 x - 3 - m = 0$ 的解为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．关于x的方程 $x^{2} + 2 x - 3 - n = 0$ 的解为 $x_{3} ， x_{4} (x_{3} < x_{4})$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $x_{3} < x_{1} < x_{2} < x_{4}$ B、 $x_{1} < x_{3} < x_{4} < x_{2}$ C、 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ D、 $x_{3} < x_{4} < x_{1} < x_{2}$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系中，点 $P (- 3 ， - 2)$ 所在象限是第象限．

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14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．

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15. 已知 $x = 5$ ，则代数式 $\frac{3}{x - 4} - \frac{24}{x^{2} - 16}$ 的值为．

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16. 已知关于x的方程 $x^{2} + m x - 20 = 0$ 的一个根是 $- 4$ ，则它的另一个根是．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边 $A B$ 所在的直线相切时，r的值为．

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18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．

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三、解答题

19. 计算： $| - 3 | + \sqrt{4} + (- 2) \times 1$

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 4 \leq 0 ① \\ 2 (x + 1) < 3 x ② \end{array}$

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21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A： $60 \leq x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $90 \leq x \leq 100$ ），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
$60 %$
九
87
86
b
c
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

(2)、该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．

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22. 如图，正比例函数 $y = \frac{4}{3} x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点A．

(1)、求点A的坐标．

(2)、分别以点O、A为圆心，大于 $O A$ 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线 $B C$ ，交x轴于点D．求线段 $O D$ 的长．

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23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 $A B$ 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 $24 \sqrt{3}$ 米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 $A B$ 的顶部B处的俯角为 $30 °$ ， $C D$ 长为 $49.6$ 米．已知目高 $C E$ 为 $1.6$ 米．

(1)、求教学楼 $A B$ 的高度．

(2)、若无人机保持现有高度沿平行于 $C A$ 的方向，以 $4 \sqrt{3}$ 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 $E B$ ．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是一条弦，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F，交 $⊙ O$ 于点H， $D B$ 交 $A C$ 于点G．

(1)、求证： $A F = D F$ ．

(2)、若 $A F = \frac{5}{2} ， s i n ∠ A B D = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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25.

(1)、[问题探究]
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O．在线段 $A O$ 上任取一点P（端点除外），连接 $P D 、 P B$ ．

①求证： $P D = P B$ ；

②将线段 $D P$ 绕点P逆时针旋转，使点D落在 $B A$ 的延长线上的点Q处．当点P在线段 $A O$ 上的位置发生变化时， $∠ D P Q$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究 $A Q$ 与 $O P$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、[迁移探究]
如图2，将正方形 $A B C D$ 换成菱形 $A B C D$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ ，其他条件不变．试探究 $A Q$ 与 $C P$ 的数量关系，并说明理由．

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $A C$ ，过B、C两点作直线．

(1)、求a的值．

(2)、将直线 $B C$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，交抛物线于 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 两点．在直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P B C + ∠ A C O = 45 °$ ，若存在，请求出直线 $B P$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

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年级	平均数	中位数	众数	优秀率
八	87	a	98	$60 %$
九	87	86	b	c

测试次数	1	2	3	4	5
甲	5	10	9	3	8
乙	8	6	8	6	7