甘肃省武威、平凉、天水、白银、定西、张掖、陇南、金昌、酒泉、庆阳2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 9的算术平方根是（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm 9$ C、3 D、 $- 3$

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2. 若 $\frac{a}{2} = \frac{3}{b}$ ，则 $a b =$ （）

A、6 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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3. 计算： $a (a + 2) - 2 a =$ （）

A、2 B、 $a^{2}$ C、 $a^{2} + 2 a$ D、 $a^{2} - 2 a$

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4. 若直线 $y = k x$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ）经过第一、第三象限，则 $k$ 的值可为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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5. 如图， $B D$ 是等边 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的高，以点 $D$ 为圆心， $D B$ 长为半径作弧交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，则 $∠ D E C =$ （）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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6. 方程 $\frac{2}{x} = \frac{1}{x + 1}$ 的解为（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x = - 4$ D、 $x = 4$

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7. 如图，将矩形 $A B C D$ 对折，使边 $A B$ 与 $D C$ ， $B C$ 与 $A D$ 分别重合，展开后得到四边形 $E F G H$ ．若 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，则四边形 $E F G H$ 的面积为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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8. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约

2200

位数学家的《数学家传略辞典》中部分

90

岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）

年龄范围（岁）	人数（人）
$90 - 91$	25
$92 - 93$
$94 - 95$
$96 - 97$	11
$98 - 99$	10
$100 - 101$	$m$

A、该小组共统计了100名数学家的年龄 B、统计表中

m

的值为5 C、长寿数学家年龄在

92 - 93

岁的人数最多 D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在

96 - 97

岁的人数估计有110人

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9. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 $A B$ 与地面 $C D$ 所成夹角 $∠ A B C = 50 °$ 时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 $E F$ 与地面的夹角 $∠ E B C =$ （）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $85 °$

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10. 如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $E$ 为 $C D$ 边的中点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B \to B C$ 匀速运动，运动到点 $C$ 时停止．设点 $P$ 的运动路程为 $x$ ，线段 $P E$ 的长为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图2所示，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(4 ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(4 ， 4)$ C、 $(4 ， 2 \sqrt{5})$ D、 $(4 ， 5)$

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二、填空题

11. 因式分解： $a x^{2} - 2 a x + a =$ .

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 4 c = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $c =$ （写出一个满足条件的值）．

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13. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“ $+ 9050$ 米”，那么海平面以下10907米记作“米”．

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 是 $⊙ O$ 上一点， $∠ C D B = 55 °$ ，则 $∠ A B C =$ $°$ ．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $B E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ C D$ ，垂足分别为 $B$ ， $D$ ，若 $A B = 6 c m$ ，则 $E F =$ $c m$ ．

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16. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径） $O A$ 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点 $A$ 处离开水面，逆时针旋转 $150 °$ 上升至轮子上方 $B$ 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从 $A$ 处（舀水）转动到 $B$ 处（倒水）所经过的路程是米．（结果保留 $π$ ）

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{27} \div \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x > - 6 - 2 x \\ x \leq \frac{3 + x}{4} \end{array}$

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19. 化简： $\frac{a + 2 b}{a + b} - \frac{a - b}{a - 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}}$ ．

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20. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 $⊙ O$ ， $A$ 是 $⊙ O$ 上一点，只用圆规将 $⊙ O$ 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）

①以点 $A$ 为圆心， $O A$ 长为半径，自点 $A$ 起，在 $⊙ O$ 上逆时针方向顺次截取 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ；

②分别以点 $A$ ，点 $D$ 为圆心， $A C$ 长为半径作弧，两弧交于 $⊙ O$ 上方点 $E$ ；

③以点 $A$ 为圆心， $O E$ 长为半径作弧交 $⊙ O$ 于 $G$ ， $H$ 两点．即点 $A$ ， $G$ ， $D$ ， $H$ 将 $⊙ O$ 的圆周四等分．

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21. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．

(1)、求小亮从中随机抽到卡片 $A$ 的概率；

(2)、请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 $C$ 的概率．

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22. 如图1，某人的一器官后面

A

处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：

课题	检测新生物到皮肤的距离
工具	医疗仪器等
示意图
说明	如图2，新生物在 $A$ 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 $B$ 处照射新生物，检测射线与皮肤 $M N$ 的夹角为 $∠ D B N$ ；再在皮肤上选择距离 $B$ 处 $9 c m$ 的 $C$ 处照射新生物，检测射线与皮肤 $M N$ 的夹角为 $∠ E C N$ ．
测量数据	$∠ D B N = 35 °$ ， $∠ E C N = 22 °$ ， $B C = 9 c m$

请你根据上表中的测量数据，计算新生物 $A$ 处到皮肤的距离．（结果精确到 $0.1 c m$ ）（参考数据： $s i n 35 ° \approx 0.57$ ， $c o s 35 ° \approx 0.82$ ， $t a n 35 ° \approx 0.70$ ， $s i n 22 ° \approx 0.37$ ， $c o s 22 ° \approx 0.93$ ， $t a n 22 ° \approx 0.40$ ）

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23. 某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用 $x$ 表示，分成6个等级： $A$ ． $x < 10$ ； $B$ ． $10 \leq x < 1.5$ ； $C$ ． $15 \leq x < 20$ ； $D$ ． $20 \leq x < 25$ ； $E$ ． $25 \leq x < 30$ ； $F$ ． $30 \leq x \leq 35$ ）．下面给出了部分信息：
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：
b．八年级学生上学期期末地理成绩在 $C$ ． $15 \leq x < 20$ 这一组的成绩是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
$17.7$
15
$m$
八年级下学期
$18.2$
19
$18.5$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $m =$ ；

(2)、若 $x \geq 25$ 为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有人；

(3)、你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．

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24. 如图，一次函数 $y = m x + n$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $B (3 ， a)$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、用 $m$ 的代数式表示 $n$ ；

(3)、当 $△ O A B$ 的面积为9时，求一次函数 $y = m x + n$ 的表达式．

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25. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是 $⊙ O$ 上的一点， $C O$ 平分 $∠ B C D$ ， $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $F$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ 时，求 $C E$ 的长．

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26.

(1)、【模型建立】如图1， $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $F$ 在 $B D$ 边上．
①求证： $A E = C D$ ；
②用等式写出线段 $A D$ ， $B D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、【模型应用】
如图2， $△ A B C$ 是直角三角形， $A B = A C$ ， $C D ⊥ B D$ ，垂足为 $D$ ，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $F$ 在 $B D$ 边上．用等式写出线段 $A D$ ， $B D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【模型迁移】
在（2）的条件下，若 $A D = 4 \sqrt{2}$ ， $B D = 3 C D$ ，求 $c o s ∠ A F B$ 的值．

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27. 如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与直线 $y = - x$ 交于点 $B (4 ， - 4)$ ，点 $C (0 ， - 4)$ 在 $y$ 轴上．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿线段 $B O$ 方向匀速运动，运动到点 $O$ 时停止．

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 的表达式；

(2)、当 $B P = 2 \sqrt{2}$ 时，请在图1中过点 $P$ 作 $P D ⊥ O A$ 交抛物线于点 $D$ ，连接 $P C$ ， $O D$ ，判断四边形 $O C P D$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图2，点 $P$ 从点 $B$ 开始运动时，点 $Q$ 从点 $O$ 同时出发，以与点 $P$ 相同的速度沿 $x$ 轴正方向匀速运动，点 $P$ 停止运动时点 $Q$ 也停止运动．连接 $B Q$ ， $P C$ ，求 $C P + B Q$ 的最小值．

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学期	平均数	众数	中位数
八年级上学期	$17.7$	15	$m$
八年级下学期	$18.2$	19	$18.5$