上海市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{5} \div a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $\sqrt{a^{2}} = a$

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2. 在分式方程 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 x - 1} = 5$ 中，设 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} = y$ ，可得到关于y的整式方程为（）

A、 $y^{2} + 5 y + 5 = 0$ B、 $y^{2} - 5 y + 5 = 0$ C、 $y^{2} + 5 y + 1 = 0$ D、 $y^{2} - 5 y + 1 = 0$

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3. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）

A、 $y = 6 x$ B、 $y = - 6 x$ C、 $y = \frac{6}{x}$ D、 $y = - \frac{6}{x}$

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4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）

A、小车的车流量与公车的车流量稳定； B、小车的车流量的平均数较大； C、小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D、小车与公车车流量的变化趋势相同．

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5. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A B = C D$ ．下列说法能使四边形 $A B C D$ 为矩形的是（）

A、 $A B ∥ C D$ B、 $A D = B C$ C、 $∠ A = ∠ B$ D、 $∠ A = ∠ D$

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6. 已知在梯形 $A B C D$ 中，连接 $A C ， B D$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，设 $A B = a ， C D = b$ ．下列两个说法：
① $A C = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b)$ ；② $A D = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}$
则下列说法正确的是（）

A、①正确②错误 B、①错误②正确 C、①②均正确 D、①②均错误

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二、填空题

7. 分解因式： $n^{2} - 9 =$ ．

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8. 化简： $\frac{2}{1 - x} - \frac{2 x}{1 - x}$ 的结果为．

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9. 已知关于 $x$ 的方程 $\sqrt{x - 14} = 2$ ，则 $x =$

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10. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 23}$ 的定义域为．

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11. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 没有实数根，那么a的取值范围是．

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12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为．

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13. 如果一个正多边形的中心角是 $20 °$ ，那么这个正多边形的边数为．

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14. 一个二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E在边 $A B$ ， $A C$ 上， $2 A D = B D ， D E ∥ B C$ ，连结 $D E$ ，设向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{D E} =$ ．

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16. 垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 35 °$ ，将 $△ A B C$ 绕着点A旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，旋转后的点B落在 $B C$ 上，点B的对应点为D，连接 $A D ， A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，则 $α =$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中 $A B = 7 ， B C = 3 ， ∠ C = 90 °$ ，点D在边 $A C$ 上，点E在 $C A$ 延长线上，且 $C D = D E$ ，如果 $⊙ B$ 过点A， $⊙ E$ 过点D，若 $⊙ B$ 与 $⊙ E$ 有公共点，那么 $⊙ E$ 半径r的取值范围是．

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt[3]{8} + \frac{1}{2 + \sqrt{5}} - {(\frac{1}{3})}^{- 2} + | \sqrt{5} - 3 |$

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20. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x > x + 6 \\ \frac{1}{2} x < - x + 5 \end{array}$

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21. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为8，点C在 $B O$ 延长线上，且 $c o s ∠ A B C = \frac{4}{5} ， O C = \frac{1}{2} O B$ ．

(1)、求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、求 $∠ B A C$ 的正切值．

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22. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．

(1)、他实际花了多少钱购买会员卡？

(2)、减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）

(3)、油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？

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23. 如图，在梯形 $A B C D$ 中 $A D ∥ B C$ ，点F，E分别在线段 $B C$ ， $A C$ 上，且 $∠ F A C = ∠ A D E$ ， $A C = A D$

(1)、求证： $D E = A F$

(2)、若 $∠ A B C = ∠ C D E$ ，求证： $A F^{2} = B F \cdot C E$

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段 $A B$ 上，以点C为顶点的抛物线M： $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点B．

(1)、求点A，B的坐标；

(2)、求b，c的值；

(3)、平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结 $C D$ ，且 $C D ∥ x$ 轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．

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25. 如图（1）所示，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $O$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 边 $O B$ 中点，为以 $O$ 为圆心， $B O$ 为半径的圆分别交 $C B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，联结 $E F$ 交 $O D$ 于点 $G$ ．

(1)、如果 $O G = D G$ ，求证：四边形 $C E G D$ 为平行四边形；

(2)、如图（2）所示，联结 $O E$ ，如果 $∠ B A C = 90 ° ， ∠ O F E = ∠ D O E ， A O = 4$ ，求边 $O B$ 的长；

(3)、联结 $B G$ ，如果 $△ O B G$ 是以 $O B$ 为腰的等腰三角形，且 $A O = O F$ ，求 $\frac{O G}{O D}$ 的值．

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