天津市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $(- \frac{1}{2}) \times (- 2)$ 的结果等于（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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2. 估计 $\sqrt{6}$ 的值应在（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、全 B、面 C、发 D、展

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5. 据 $2023$ 年 $5$ 月 $21$ 日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到 $935000000$ 人次，将数据 $935000000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $0.935 \times 1 0^{9}$ B、 $9.35 \times 1 0^{8}$ C、 $93.5 \times 1 0^{7}$ D、 $935 \times 1 0^{6}$

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6. $s i n 45 ° + \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 计算 $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$ 的结果等于（）

A、 $- 1$ B、 $x - 1$ C、 $\frac{1}{x + 1}$ D、 $\frac{1}{x^{2} - 1}$

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8. 若点 $A (x_{1} ， - 2) ， B (x_{2} ， 1) ， C (x_{3} ， 2)$ 都在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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9. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} · x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} · x_{2} = 7$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线 $M N$ 分别与边 $B C ， A C$ 相交于点D，E，连接 $A D$ ．若 $B D = D C ， A E = 4 ， A D = 5$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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11. 如图，把 $△ A B C$ 以点A为中心逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在 $B C$ 的延长线上，连接 $B D$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ C A E = ∠ B E D$ B、 $A B = A E$ C、 $∠ A C E = ∠ A D E$ D、 $C E = B D$

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12. 如图，要围一个矩形菜园 $A B C D$ ，共中一边 $A D$ 是墙，且 $A D$ 的长不能超过 $26 m$ ，其余的三边 $A B ， B C ， C D$ 用篱笆，且这三边的和为 $40 m$ ．有下列结论：
① $A B$ 的长可以为 $6 m$ ；
② $A B$ 的长有两个不同的值满足菜园 $A B C D$ 面积为 $192 m^{2}$ ；
③菜园 $A B C D$ 面积的最大值为 $200 m^{2}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为．

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14. 计算 ${(x y^{2})}^{2}$ 的结果为．

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15. 计算 $(\sqrt{7} + \sqrt{6}) (\sqrt{7} - \sqrt{6})$ 的结果为．

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16. 若直线 $y = x$ 向上平移3个单位长度后经过点 $(2 ， m)$ ，则 $m$ 的值为．

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17. 如图，在边长为3的正方形 $A B C D$ 的外侧，作等腰三角形 $A D E$ ， $E A = E D = \frac{5}{2}$ ．

(1)、 $△ A D E$ 的面积为；

(2)、若F为 $B E$ 的中点，连接 $A F$ 并延长，与 $C D$ 相交于点G，则 $A G$ 的长为．

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三、解答题

18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形 $A B C$ 内接于圆，且顶点A，B均在格点上．

(1)、线段 $A B$ 的长为；

(2)、若点D在圆上， $A B$ 与 $C D$ 相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使 $△ C P Q$ 为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

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19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 \geq x - 1 ① \\ 4 x - 1 \leq x + 2 ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为．

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20. 为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了 $a$ 名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填空：a的值为，图①中 $m$ 的值为；

(2)、求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．

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21. 在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直于弦 $A B$ ，垂足为D， $∠ A O C = 60 °$ ， E为弦 $A B$ 所对的优弧上一点．

(1)、如图①，求 $∠ A O B$ 和 $∠ C E B$ 的大小；

(2)、如图②， $C E$ 与 $A B$ 相交于点F， $E F = E B$ ，过点E作 $⊙ O$ 的切线，与 $C O$ 的延长线相交于点G，若 $O A = 3$ ，求 $E G$ 的长．

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22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 $A B$ 前有一座高为 $D E$ 的观景台，已知 $C D = 6 m ， ∠ D C E = 30 °$ ，点E，C，A在同一条水平直线上．

某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 $45 °$ ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 $27 °$ ．

(1)、求 $D E$ 的长；

(2)、设塔 $A B$ 的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段 $E A$ 的长（结果保留根号）；
②求塔 $A B$ 的高度（ $t a n 27 °$ 取0.5， $\sqrt{3}$ 取1.7，结果取整数）．

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23. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍 $0.6 k m$ ，体育场离宿舍 $1.2 k m$ ，张强从宿舍出发，先用了 $10 m i n$ 匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了 $30 m i n$ ，之后匀速步行了 $10 m i n$ 到文具店买笔，在文具店停留 $10 m i n$ 后，用了 $20 m i n$ 匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：

(1)、①填表：
张强离开宿舍的时间/ $m i n$
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/ $k m$
1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为 $k m / m i n$ ；
③当 $50 \leq x \leq 80$ 时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；

(2)、当张强离开体育场 $15 m i n$ 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为 $0.06 k m / m i n$ ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）

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24. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A (\sqrt{3} ， 0) ， B (0 ， 1) ， D (2 \sqrt{3} ， 1)$ ，矩形 $E F G H$ 的顶点 $E (0 ， \frac{1}{2}) ， F (- \sqrt{3} ， \frac{1}{2}) ， H (0 ， \frac{3}{2})$ ．

(1)、填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

(2)、将矩形 $E F G H$ 沿水平方向向右平移，得到矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ ，点E，F，G，H的对应点分别为 $E^{'}$ ， $F^{'}$ ， $G^{'}$ ， $H^{'}$ ．设 $E E^{'} = t$ ，矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分的面积为S．

①如图②，当边 $E^{'} F^{'}$ 与 $A B$ 相交于点M、边 $G^{'} H^{'}$ 与 $B C$ 相交于点N，且矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：

②当 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \leq t \leq \frac{11 \sqrt{3}}{4}$ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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25. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ $(b$ ， $c$ 为常数， $c > 1$ $)$ 的顶点为 $P$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，抛物线上的点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，且 $- c < m < \frac{b}{2}$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ A C$ ，垂足为 $N$ ．

(1)、若 $b = - 2 ， c = 3$ ．
①求点 $P$ 和点 $A$ 的坐标；
②当 $M N = \sqrt{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标；

(2)、若点 $A$ 的坐标为 $(- c ， 0)$ ，且 $M P ∥ A C$ ，当 $A N + 3 M N = 9 \sqrt{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标．

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张强离开宿舍的时间/ $m i n$	1	10	20	60
张强离宿舍的距离/ $k m$		1.2