湖南省岳阳市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $2023$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- 2023$ C、 $2023$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a = a^{3}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 $3 a - a = 3$ D、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$

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3. 下列几何体的主视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 在直线 $A B$ 上，点 $F ， G$ 在直线 $C D$ 上， $E G ⊥ E F$ 于点 $E ， ∠ A E F = 40 °$ ，则 $∠ E G F$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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5. 在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下： $176 ， 178 ， 178 ， 180 ， 182 ， 185 ， 189$ （单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（）

A、 $180 ， 182$ B、 $178 ， 182$ C、 $180 ， 180$ D、 $178 ， 180$

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、同位角相等 B、菱形的四条边相等 C、正五边形是中心对称图形 D、单项式 $5 a b^{2}$ 的次数是4

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径 $B D$ 为25寸，要做成方形板材，使其厚度 $C D$ 达到7寸．则 $B C$ 的长是（）

A、 $\sqrt{674}$ 寸 B、25寸 C、24寸 D、7寸

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8. 若一个点的坐标满足 $(k ， 2 k)$ ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于 $x$ 的二次函数 $y = (t + 1) x^{2} + (t + 2) x + s$ （ $s ， t$ 为常数， $t \neq - 1$ ）总有两个不同的倍值点，则 $s$ 的取值范围是（）

A、 $s < - 1$ B、 $s < 0$ C、 $0 < s < 1$ D、 $- 1 < s < 0$

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二、填空题

9. 函数y= $\frac{1}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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10. 近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂.2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达 $37.83$ 万只，数据 $378300$ 用科学记数法表示为．

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11. 有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为 $\bar{x} = 160 c m$ ，甲队身高方差 $s_{甲}^{2} = 1.2$ ，乙队身高方差 $s_{乙}^{2} = 2.0$ ，两队身高比较整齐的是队．（填“甲”或“乙”）

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12. 如图，①在 $O A ， O B$ 上分别截取线段 $O D ， O E$ ，使 $O D = O E$ ；②分别以 $D ， E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径画弧，在 $∠ A O B$ 内两弧交于点 $C$ ；③作射线 $O C$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $∠ A O C =$ $°$ ．

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13. 观察下列式子：
$1^{2} - 1 = 1 \times 0$ ； $2^{2} - 2 = 2 \times 1$ ； $3^{2} - 3 = 3 \times 2$ ； $4^{2} - 4 = 4 \times 3$ ； $5^{2} - 5 = 5 \times 4$ ；…
依此规律，则第 $n$ （ $n$ 为正整数）个等式是．

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} - m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，且 $x_{1} + x_{2} + x_{1} \cdot x_{2} = 2$ ，则实数 $m =$ ．

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15. 2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在 $A$ 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 $E$ 处的仰角为 $21.8 °$ ，仪器与气球的水平距离 $B C$ 为20米，且距地面高度 $A B$ 为1.5米，则气球顶部离地面的高度 $E C$ 是米（结果精确到0.1米， $s i n 21.8 ° \approx 0.3714 ， c o s 21.8 ° \approx 0.9285 ， t a n 21.8 ° \approx 0.4000$ ）．

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16. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径， $B D$ 为弦，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，以点 $C$ 为切点的切线与 $A B$ 的延长线交于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ A = 30 ° ， A B = 6$ ，则 $\overset{⌢}{B D}$ 的长是（结果保留 $π$ ）；

(2)、若 $\frac{C F}{A F} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{C E}{A E} =$ ．

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三、解答题

17. 计算： $2^{2} - t a n 60 ° + | \sqrt{3} - 1 | - (3 - π)^{0}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > x + 3 ， ① \\ 2 x - 4 < x . ② \end{array}$

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19. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）与正比例函数 $y = m x$ （ $m$ 为常数， $m \neq 0$ ）的图象交于 $A (1 ， 2) ， B$ 两点．

(1)、求反比例函数和正比例函数的表达式；

(2)、若y轴上有一点 $C (0 ， n) ， △ A B C$ 的面积为4，求点 $C$ 的坐标．

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20. 为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．

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21. 如图，点 $M$ 在 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上， $B M = C M$ ，请从以下三个选项中① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $A M = D M$ ；③ $∠ 3 = ∠ 4$ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使 $▱ A B C D$ 为矩形．

(1)、你添加的条件是（填序号）；

(2)、添加条件后，请证明 $▱ A B C D$ 为矩形．

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22. 水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 $4800 k g$ ，今年龙虾的总产量是 $6000 k g$ ，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少 $60 k g$ ，求今年龙虾的平均亩产量．

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23. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $M ， N$ 分别为边 $A B ， B C$ 的中点，连接 $M N$ ．

(1)、初步尝试： $M N$ 与 $A C$ 的数量关系是， $M N$ 与 $A C$ 的位置关系是．

(2)、特例研讨：如图2，若 $∠ B A C = 90 ° ， B C = 4 \sqrt{2}$ ，先将 $△ B M N$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ （ $α$ 为锐角），得到 $△ B E F$ ，当点 $A ， E ， F$ 在同一直线上时， $A E$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ ，连接 $C F$ ．
①求 $∠ B C F$ 的度数；
②求 $C D$ 的长．

(3)、深入探究：若 $∠ B A C < 90 °$ ，将 $△ B M N$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ ，得到 $△ B E F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．当旋转角 $α$ 满足 $0 ° < α < 360 °$ ，点 $C ， E ， F$ 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究 $∠ B A E$ 与 $∠ A B F$ 的数量关系，并说明理由．

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24. 已知抛物线 $Q_{1} ： y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、请求出抛物线 $Q_{1}$ 的表达式．

(2)、如图1，在 $y$ 轴上有一点 $D (0 ， - 1)$ ，点 $E$ 在抛物线 $Q_{1}$ 上，点 $F$ 为坐标平面内一点，是否存在点 $E ， F$ 使得四边形 $D A E F$ 为正方形？若存在，请求出点 $E ， F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，将抛物线 $Q_{1}$ 向右平移2个单位，得到抛物线 $Q_{2}$ ，抛物线 $Q_{2}$ 的顶点为 $K$ ，与 $x$ 轴正半轴交于点 $H$ ，抛物线 $Q_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ C P K = ∠ C H K$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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